试题

如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x²交于点P′、Q′．
（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；
（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．

解：（1）设直线OP′的函数解析式为y=mx．
∵点P的坐标为（k，0），P′的横坐标与P相同，且P′在抛物线y=x²上
∴P′的纵坐标y=k²
∴k²=mk，即m=k
∴直线OP′的函数解析式为y=kx

（2）由（1）知点P′的坐标为（k，k²）
∵PQ=2
∴点Q′的坐标为（k+2，（k+2）²），则R点的坐标为（k，k（k+2））
∵S梯形P′RQP=

1

2

(P′P+QR)·PQ，S△P′Q′P=

1

2

Q′R·PQ，直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分
∴

1

2

(P′P+QR)·PQ=

1

2

Q′R·PQ，即P′P+QR+Q′R=QQ′-QR
∴QQ′-P′P=2QR·（k+2）²-k²=2k（k+2）
解得k=

2

或-

2

（不合题意舍去）
∴k=

2

答：（1）直线OP′的函数解析式为y=kx；
（2）k=

2

．
解：（1）设直线OP′的函数解析式为y=mx．
∵点P的坐标为（k，0），P′的横坐标与P相同，且P′在抛物线y=x²上
∴P′的纵坐标y=k²
∴k²=mk，即m=k
∴直线OP′的函数解析式为y=kx

（2）由（1）知点P′的坐标为（k，k²）
∵PQ=2
∴点Q′的坐标为（k+2，（k+2）²），则R点的坐标为（k，k（k+2））
∵S梯形P′RQP=

1

2

(P′P+QR)·PQ，S△P′Q′P=

1

2

Q′R·PQ，直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分
∴

1

2

(P′P+QR)·PQ=

1

2

Q′R·PQ，即P′P+QR+Q′R=QQ′-QR
∴QQ′-P′P=2QR·（k+2）²-k²=2k（k+2）
解得k=

2

或-

2

（不合题意舍去）
∴k=

2

答：（1）直线OP′的函数解析式为y=kx；
（2）k=

2

．