试题

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（ x₁＜0＜x₂），与y轴交于点C（0，-2），若OB=4OA，且以AB为直径的圆过C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D在此抛物线上，且AD∥CB．
①求D点的坐标；
②在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，-2），
∴c=-2，则抛物线转化为y=ax²+bx-2，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（ x₁＜0＜x₂），OB=4OA，
∴x₂=-4x₁，ax²+bx-2=0，
由题意列出如下关系式：

x1+x2=- b a x1x2= c a x2=-4x1 x1＜0＜x2 c=-2 x12+4+x22+4=(x1-x2)2

，
解得c=-2，a=

1

2

，b=-

3

2

，x₁=-1，x₂=4，
∴此抛物线的解析式是y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（2）①由（1）知

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
解得x=-1或4，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（4，0），
设直线BC的函数关系式为y=kx-2，直线AD的函数关系式为y=k（x+1），
∵直线BC经过B点的坐标，
∴0=4k-2，k=

1

2

，
∴直线AD的函数关系式为y=

1

2

(x+1)，
∵点D为抛物线y=

1

2

x2-

3

2

x-2与直线y=

1

2

x+

1

2

的交点，
联立解方程
解得x=5、y=3，或x=-1、y=-

1

2

（不合题意舍去）
∴D点的坐标为（5，3）；
②设P点的坐标为（k，

1

2

k2-

3

2

k-2）
由上面知D点的坐标为（5，3）、A点的坐标（-1，0）、B点的坐标为（4，0）、C点的坐标为（0，-2），
则由题意得S_△APD=S_{四边形ACBD}·

1

2

·(k+1)·[3-(

1

2

k2-

3

2

k-2)]=

1

2

·5·3+

1

2

·5·2·k³-2k²-13k+40=0，
解得k=

-6+ 6

3

或

-6- 6

3

，则P点的坐标为或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．
答：（1）此抛物线的解析式y=

1

2

x2-

3

2

x-2；（2）①D点的坐标为（5，3）；②存在符合条件的P点坐标，此时P点坐标为(

-6+ 6

3

，

-16+ 6

6

)或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点C（0，-2），
∴c=-2，则抛物线转化为y=ax²+bx-2，
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）（ x₁＜0＜x₂），OB=4OA，
∴x₂=-4x₁，ax²+bx-2=0，
由题意列出如下关系式：

x1+x2=- b a x1x2= c a x2=-4x1 x1＜0＜x2 c=-2 x12+4+x22+4=(x1-x2)2

，
解得c=-2，a=

1

2

，b=-

3

2

，x₁=-1，x₂=4，
∴此抛物线的解析式是y=

1

2

x2-

3

2

x-2；

（2）①由（1）知

1

2

x2-

3

2

x-2=0，
解得x=-1或4，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（4，0），
设直线BC的函数关系式为y=kx-2，直线AD的函数关系式为y=k（x+1），
∵直线BC经过B点的坐标，
∴0=4k-2，k=

1

2

，
∴直线AD的函数关系式为y=

1

2

(x+1)，
∵点D为抛物线y=

1

2

x2-

3

2

x-2与直线y=

1

2

x+

1

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的交点，
联立解方程
解得x=5、y=3，或x=-1、y=-

1

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（不合题意舍去）
∴D点的坐标为（5，3）；
②设P点的坐标为（k，

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k2-

3

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k-2）
由上面知D点的坐标为（5，3）、A点的坐标（-1，0）、B点的坐标为（4，0）、C点的坐标为（0，-2），
则由题意得S_△APD=S_{四边形ACBD}·

1

2

·(k+1)·[3-(

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k2-

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k-2)]=

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·5·3+

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·5·2·k³-2k²-13k+40=0，
解得k=

-6+ 6

3

或

-6- 6

3

，则P点的坐标为或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．
答：（1）此抛物线的解析式y=

1

2

x2-

3

2

x-2；（2）①D点的坐标为（5，3）；②存在符合条件的P点坐标，此时P点坐标为(

-6+ 6

3

，

-16+ 6

6

)或(

-6- 6

3

，

-16- 6

6

)．