试题

已知：抛物线y=ax²+bx+c过点A（一1，4），其顶点的横坐标为

1

2

，与x轴分别交于B（x₁，0）、C（x₂，0）两点（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；
（2）设此抛物线与y轴交于D点，点P是抛物线上的点，若△PBO的面积为△DOC面积的

2

3

倍，求点P的坐标．

解：（1）由题意得

- b 2a = 1 2 4=a-b+c b2 a2 - 2 c a =13

·

b=-a      4=a-b+c  1- 2 c a =13

·

b=-a              ① 4=a-b+c        ② c=-6a          ③

将①②代入②得      a=-1，则b=1，c=6
∴该抛物线的解析式为y=-x²+x+6=-(x-

1

2

)2+

25

4

∴顶点E的坐标为(

1

2

，

25

4

)

（2）抛物线与y轴交点D的横坐标为x=0，则y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0·-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
设P的坐标为（m、n）
S△BOP=

1

2

×2×|n|
S△DOC=

1

2

×3×6=9
又∵S△BOP=

2

3

S△DOC，即

1

2

×2×|n|=

2

3

×9
∴n=6或-6
当n=6时，则6=-m²+m+6，解得m=0或1；
当n=-6时，则-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）该抛物线的解析式为y=-x²+x+6，顶点E的纵坐标为(

1

2

，

25

4

)；
（2）点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．
解：（1）由题意得

- b 2a = 1 2 4=a-b+c b2 a2 - 2 c a =13

·

b=-a      4=a-b+c  1- 2 c a =13

·

b=-a              ① 4=a-b+c        ② c=-6a          ③

将①②代入②得      a=-1，则b=1，c=6
∴该抛物线的解析式为y=-x²+x+6=-(x-

1

2

)2+

25

4

∴顶点E的坐标为(

1

2

，

25

4

)

（2）抛物线与y轴交点D的横坐标为x=0，则y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0·-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
设P的坐标为（m、n）
S△BOP=

1

2

×2×|n|
S△DOC=

1

2

×3×6=9
又∵S△BOP=

2

3

S△DOC，即

1

2

×2×|n|=

2

3

×9
∴n=6或-6
当n=6时，则6=-m²+m+6，解得m=0或1；
当n=-6时，则-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）该抛物线的解析式为y=-x²+x+6，顶点E的纵坐标为(

1

2

，

25

4

)；
（2）点P的坐标为（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．