试题

如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax²（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA=OB=2

2

（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．

解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2

2

，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax²（a＜0）得，a=-

1

2

．

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B （1，-

1

2

），
设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），则
OB²=1²+（

1

2

）²=

5

4

，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（1+m）²+（-

1

2

+

1

2

m²）²，
∵∠AOB=90°，∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-

1

2

+

1

2

m²）²=m²+

1

4

m⁴+

5

4

，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．

（3）解法一：设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），B（n，-

1

2

n ²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

-mk+b=- 1 2 m2① nk+b=- 1 2 n2②

，
①×n+②×m得，（m+n）b=-

1

2

（m²n+mn²）=-

1

2

mn（m+n），
∴b=-

1

2

mn，
由前可知，OB²=n²+

1

4

n⁴，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+

1

4

n⁴+m²+

1

4

m⁴=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
化简，得mn=4．
∴b=-

1

2

×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），

解法二：设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），B（n，-

1

2

n ²）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF=S_△AOC+S_△BOC，可得

1

2

×（

1

2

m²+

1

2

n²）（m+n）-

1

2

m×

1

2

m²-

1

2

n×

1

2

n²=

1

2

CO·m+

1

2

CO·n
化简，得CO=

1

2

mn，
由前可知，OB²=n²+

1

4

n⁴，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+

1

4

n⁴+m²+

1

4

m⁴=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2

2

，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax²（a＜0）得，a=-

1

2

．

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B （1，-

1

2

），
设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），则
OB²=1²+（

1

2

）²=

5

4

，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（1+m）²+（-

1

2

+

1

2

m²）²，
∵∠AOB=90°，∴AB²=OA²+OB²，
∴（1+m）²+（-

1

2

+

1

2

m²）²=m²+

1

4

m⁴+

5

4

，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．

（3）解法一：设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），B（n，-

1

2

n ²）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则

-mk+b=- 1 2 m2① nk+b=- 1 2 n2②

，
①×n+②×m得，（m+n）b=-

1

2

（m²n+mn²）=-

1

2

mn（m+n），
∴b=-

1

2

mn，
由前可知，OB²=n²+

1

4

n⁴，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+

1

4

n⁴+m²+

1

4

m⁴=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
化简，得mn=4．
∴b=-

1

2

×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），

解法二：设A（-m，-

1

2

m ²）（m＞0），B（n，-

1

2

n ²）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S_△AOB=S_梯形ABFE-S_△AOE-S_△BOF=S_△AOC+S_△BOC，可得

1

2

×（

1

2

m²+

1

2

n²）（m+n）-

1

2

m×

1

2

m²-

1

2

n×

1

2

n²=

1

2

CO·m+

1

2

CO·n
化简，得CO=

1

2

mn，
由前可知，OB²=n²+

1

4

n⁴，OA²=m²+

1

4

m⁴，AB²=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
由AB²=OA²+OB²，得：n²+

1

4

n⁴+m²+

1

4

m⁴=（n+m）²+（-

1

2

m²+

1

2

n²）²，
化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．