试题

题目：
（2011·化州市二模）如图，直线l：y=
1
3
x+
1
4
经过点M（0，
1
4
），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）…，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1=d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是
5
12
或
11
12
5
12
或
11
12
．
青果学院
答案
5
12
或
11
12

解：直线l：y=
1
3
x+
1
4
，
当x=1时，y=
7
12
，
即：B1（1，
7
12
），
当x=2时，y=
11
12
，
即：B2（2，
11
12
），
∵A1（d，0），A2（2-d，0），
若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，
即：1-d=
7
12
，
解得：d=
5
12
；
同理：若B2为直角顶点，则A2A3的中点（2，0）到B2的距离与到A3和A2的距离相等，
即：2-（2-d）=
11
12
，
解得：d=
11
12
；
若B3为直角顶点，求出的d为负数，并且从B3之后的B点，求出的d都为负数；
所以d的值是
5
12
或
11
12
．
故答案为：
5
12
或
11
12
．
考点梳理
二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线．
先求出A1、A2、B1、B2…的坐标，若B1为直角顶点，则A1A2的中点（1，0）到B1的距离与到A1和A2的距离相等，求出d的值；同理：若B2为直角顶点，求出d的值；若B3为直角顶点，求出的d值是负数（舍去）；总结上述结果即可得出答案．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，直角三角形斜边上的中线等知识点，解此题的关键是进行分类讨论．此题综合性强，有一定的难度．
计算题；压轴题．
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