试题

题目：
青果学院（2012·义乌市模拟）已知抛物线y=-
1
2
x2+2x与直线y=kx都经过原点和点E(
8
3
，
16
9
)．
（1）k=
2
3
2
3
；
（2）如图，点P是直线y=kx（x＞0）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足是点C，交抛物线于点B，过点B作x轴的平行线交直线y=kx于点D，连接OB；若以B、P、D为顶点的三角形与△OBC相似，则点P的坐标是
（
16
3
，
32
9
）或（7，
14
3
）或（1，
2
3
）
（
16
3
，
32
9
）或（7，
14
3
）或（1，
2
3
）
．
答案
2
3

（
16
3
，
32
9
）或（7，
14
3
）或（1，
2
3
）

解：（1）∵直线y=kx经过点E（
8
3
，
16
9
），
∴
8
3
k=
16
9
，
解得k=
2
3
；

（2）由（1）可知直线解析式为y=
2
3
x，
设点P的横坐标为x，则点P（x，
2
3
x），B（x，-
1
2
x2+2x），
∵BD∥x轴，
∴∠BDP=∠POC，
∴tan∠BDP=tan∠POC=
2
3
，
即
BP
BD
=
2
3
，
又∠DBP=∠BCO=90°，
①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，
所以，
BC
OC
=
BP
BD
，
即
|-
1
2
x2+2x|
x
=
2
3
，
整理得，|x-4|=
4
3
，
所以，x-4=
4
3
或x-4=-
4
3
，
解得x=
16
3
或x=
8
3
，
当x=
16
3
时，y=
2
3
x=
2
3
×
16
3
=
32
9
，
当x=
8
3
时，y=
2
3
x=
2
3
×
8
3
=
16
9
，此时点B、P重合，△BPD不存在，
所以，点P（
16
3
，
32
9
）；
②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，
cot∠BOC=tan∠BDP=
2
3
，
所以，
OC
BC
=
BP
BD
，
即
x
|-
1
2
x2+2x|
=
2
3
，
整理得，|x-4|=3，
所以，x-4=3或x-4=-3，
解得x=7或x=1，
当x=7时，y=
2
3
x=
2
3
×7=
14
3
，
当x=1时，y=
2
3
x=
2
3
×1=
2
3
，
所以，点P（7，
14
3
）或（1，
2
3
），
综上所述，点P的坐标是（
16
3
，
32
9
）或（7，
14
3
）或（1，
2
3
）．
故答案为：（1）
2
3
；（2）（
16
3
，
32
9
）或（7，
14
3
）或（1，
2
3
）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）把点E的坐标代入直线解析式，计算即可求出k值；
（2）设点P的横坐标为x，根据直线解析式表示出点P，根据抛物线解析式表示出点B，根据两直线平行，内错角相等可得∠BDP=∠POC，然后根据∠BDP的正切值求出BP与BD的比值，根据点B的坐标求出∠BOC的正切值，再分①当∠BDP=∠BOC时，两三角形相似，②∠BDP与∠BOC互余时，∠BDP=∠OBC，两三角形相似，两三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
本题是对二次函数的综合考查，主要涉及待定系数法求一次函数解析式，相似三角形对应边成比例，（2）要注意分情况讨论求解．
代数几何综合题．
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