试题

题目：
青果学院（2013·苏州一模）如图，正方形ABCD边AB在x轴上，且坐标分别为A（1，0），B（-1，0），若抛物线经过A，B两点，将正方形绕A点顺时针旋转30°后D点转到D′位置，且D′在抛物线上，则抛物线的解析式为
y=
3
3
（x+1）（x-1）（或y=
3
3
x2-
3
3
）
y=
3
3
（x+1）（x-1）（或y=
3
3
x2-
3
3
）
．
答案
y=
3
3
（x+1）（x-1）（或y=
3
3
x2-
3
3
）

青果学院解：根据题意，可设该二次函数解析式为y=a（x+1）（x-1）（a≠0），
如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．
∵A（1，0），B（-1，0），
∴AB=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=2，∠DAB=90°．
又∵由旋转的性质知，∠DAD′=30°，AD=AD′=2，
∴在直角△AED′中，AE=AD′cos60°=2×
1
2
=1，D′E=AD′sin60°=2×
3
2
=
3
，
∴D′（2，
3
）．
∵点D′在抛物线上，
∴
3
=a（2+1）（2-1），
解得，a=
3
3
，
∴该二次函数解析式是：y=
3
3
（x+1）（x-1）（或y=
3
3
x2-
3
3
）．
故答案是：y=
3
3
（x+1）（x-1）（或y=
3
3
x2-
3
3
）．
考点梳理
二次函数综合题．
如图，过点D′作D′E⊥x轴于点E．根据旋转的性质推知直角△AED′中的AD′=2，∠D′AE=60°，通过解该直角三角形即可求得AE、D′E的长度，从而求得点D′的坐标，然后将其代入二次函数解析式y=a（x+1）（x-1）（a≠0），从而求得a的值．
本题综合考查了旋转的性质，点的坐标与图形的性质，解直角三角形以及待定系数法求二次函数解析式．在求点D′的坐标时，也可以在直角△AED′中利用“勾股定理、30°角所对的直角边是所对的斜边的一半”进行解答．
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