试题

题目：
青果学院（2013·同安区一模）如图，矩形ABCD中，从较短边AD上找一点E，过点E剪下一个正三角形和一个正方形，它们边长分别为DE和AE．设矩形相邻两边长分别为6和
3
+4，当DE为
4
4
时，使得剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和最小，最小值为
4
3
+3
4
3
+3
．
答案
4

4
3
+3

解：设DE=x，则AE=
3
+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，
由题意，得y=
3
4
x2+（
3
+4-x）2
=
3
4
x2+3+16+x2+8
3
-2
3
x-8x
=（
3
4
+1）x2-（2
3
+8）x+（19+8
3
），
∵
3
4
+1＞0，
∴当x=
2
3
+8
2(
3
4
+1)
=4时，y有最小值，
最小值是：
4(
3
4
+1)(19+8
3
)-(2
3
+8)2
4(
3
4
+1)
=4
3
+3．
故答案为4，4
3
+3．
考点梳理
二次函数综合题．
设DE=x，则AE=
3
+4-x，剪下的正三角形的面积和正方形的面积之和为y，根据正三角形和正方形的面积公式得y=
3
4
x2+（
3
+4-x）2，整理后发现y是x的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．
本题考查了正三角形和正方形的面积，二次函数的性质，二次根式的化简，难度适中，得出y与x的函数关系式是解题的关键，利用二次根式的性质进行化简是本题的难点．
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