试题

题目：
青果学院（2001·重庆）已知：如图所示，一次函数有y=-2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，二次函数y=x2+bx+c的图象过点C，且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB=1：2，那么这二次函数的顶点坐标为
(-
1
2
，
11
4
)
(-
1
2
，
11
4
)
．
答案
(-
1
2
，
11
4
)

解：∵一次函数有y=-2x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，
∴分别令x=0、y=0，可求出A（
3
2
，0），C（0，3），
因为点B在直线y=-2x+3的图象上，
所以设B点（x，-2x+3），
由AC：CB=1：2可知
x2+(-2x+3-3)2
=2
(
3
2
)2+32
，
则-2x+3=9，
解得x=-3，把B（-3，9）C（0，3）代入二次函数解析式得
9=(-3)2-3b+c
c=3
，
解得
b=1
c=3
，
故二次函数的解析式为y=x2+x+3，
故其顶点坐标为（-
1
2
，
11
4
）．
考点梳理
二次函数综合题．
由一次函数y=-2x+3可求出A、C两点的坐标，再根据B也在此直线上，可设出B点坐标，由AC：CB=1：2可知B点坐标，把B、C点坐标代入二次函数的解析式可求出b、c的值，从而求出其解析式及顶点坐标．
本题考查的是一次函数与二次函数图象上点的坐标特点，是二次函数部分的基础题目．
压轴题．
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