试题

题目：
青果学院（2011·义乌市）如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B．
（1）写出点B的坐标
(
3
2
，-3)
(
3
2
，-3)
；
（2）已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点．若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为
（2，2），（
1
2
，
5
4
），（
11
4
，
11
16
），（
13
5
，
26
25
）
（2，2），（
1
2
，
5
4
），（
11
4
，
11
16
），（
13
5
，
26
25
）
．
答案
(
3
2
，-3)

（2，2），（
1
2
，
5
4
），（
11
4
，
11
16
），（
13
5
，
26
25
）

解：（1）∵抛物线y=-x2+3x的对称轴为x=-
3
2×(-1)
=
3
2
，
∴当x=
3
2
时，y=-2x=-3，即B点（
3
2
，-3）；

（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
则OD=2a，OC=a，根据勾股定理可得：CD=
5
a．
以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，
当∠CDP=90°时，
青果学院
若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=
5
2
a，设P的横坐标是x，则P点纵坐标是-x2+3x，
根据题意得：
x2+(-x2+3x-2a) 2=(
5
a
2
) 2
(
5
a) 2+(
5
a
2
)2=(-x2+3x) 2+(x-a)2 
，
解得：
x=
1
2
a=
1
2
，
则P的坐标是：（
1
2
，
5
4
），
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
当∠DCP=90°时，
青果学院
若PC：DC=OC：OD=1：2，则P（
11
4
，
11
16
），若DC：PD=OC：OD=1：2，则P（
13
5
，
26
25
）．
故答案为：（2，2），（
1
2
，
5
4
），（
11
4
，
11
16
），（
13
5
，
26
25
）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）由y=-x2+3x可知图象的对称轴为x=-
3
2×(-1)
=
3
2
，将x=
3
2
代入y=-2x中，可求B点坐标；
（2）设D（0，2a），则直线CD解析式为y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，分为∠CDP=90°和∠DCP=90°两种情况，分别求P点坐标．
本题考查了二次函数的综合运用．关键是利用平行线的解析式之间的关系，相似三角形的判定与性质，分类求解．
综合题；压轴题．
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