试题

（2013·保定一模）已知抛物线y=ax²+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax²+bx+3=0的一个根，③△PAB周长的最小值是

10

+3

2

．其中正确的是（　　）
A．①②③
B．仅有①②
C．仅有①③
D．仅有②③

A
解：①根据图象知，对称轴是直线x=-

b

2a

=1，则b=-2a，即2a+b=0．
故①正确；
②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax²+bx+3=0的一个根，故②正确；
③如图所示，点A关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x轴的另一个交点．
连接BA′与直线x=1的交点即为点P，
则△PAB周长的最小值是（BA′+AB）的长度．
∵B（0，3），A′（3，0），
∴BA′=3

2

．即△PAB周长的最小值是3

2

+

10

．
故③正确．
综上所述，正确的结论是：①②③．
故选A．