试题

（2013·杭州一模）点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为-5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=-

4

3

．其中正确的是（　　）
A．②④
B．②③
C．①③④
D．①②④

A
解：∵点A，B的坐标分别为（-2，3）和（1，3），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，3），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≤3，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，
∴当x＜-2时，y随x的增大而增大，
因此，当x＜-3时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x=1，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值为-2-4=-6，故③错误；
根据顶点坐标公式，

4ac-b2

4a

=3，
令y=0，则ax²+bx+c=0，
CD²=（-

b

a

）²-4×

c

a

=

b2-4ac

a2

，
根据顶点坐标公式，

4ac-b2

4a

=3，
∴

b2-4ac

a

=-12，
∴CD²=

1

a

×（-12）=

12

-a

，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴

12

-a

=3²=9，
解得a=-

4

3

，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选A．