试题

题目：
青果学院（2013·历城区三模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（　　）



答案
B
青果学院解：根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC=BE=5，
∴AD=BE=5，故A选项正确；

又∵从M到N的变化是2，
∴ED=2，
∴AE=AD-ED=5-2=3，
在Rt△ABE中，AB=
BE2-AE2
=
52-32
=4，
∴cos∠ABE=
AB
BE
=
4
5
，故B选项错误；

如图（1）过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，青果学院
∴∠AEB=∠PBF，
∴sin∠PBF=sin∠AEB=
AB
BE
=
4
5
，
∴PF=PBsin∠PBF=
4
5
t，
∴当0＜t≤5时，y=
1
2
BQ·PF=
1
2
t·
4
5
t=
2
5
t2，故C选项正确；

当t=
29
4
秒时，点P在CD上，此时，PD=
29
4
-BE-ED=
29
4
-5-2=
1
4
，
PQ=CD-PD=4-
1
4
=
15
4
，
∵
AB
AE
=
4
3
，
BQ
PQ
=
4
3
，
∴
AB
AE
=
BQ
PQ
，
又∵∠A=∠Q=90°，
∴△ABE∽△QBP，故D选项正确．
故选B．
考点梳理
二次函数综合题；动点问题的函数图象．
根据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口．
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