试题

（2011·恩施州）知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A₁B₁C₁D₁的面积是多少平方米？

②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A₂B₂C₂D₂做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．

（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．

解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，
∴体积为：0.6x·x·0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=

1

2

CD=0.3，
WQ=MK=

1

2

AD=

1

2

，
∴QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬纸板A₁B₁C₁D₁的面积是3×2.2=6.6（平方米）；
②
如图，连接A₂C₂，B₂D₂相交于O₂，
设△D₂EF中EF边上的高为h₁，△A₂NM中NM边上的高为h₂，
由△D₂EF∽△D₂MQ得，

h1

h1+0.8

=

1

3

，
解得：h₁=0.4，
同理可得出：h ₂=

3

8

，
∴A₂C₂=

15

4

，B₂D₂=3，
又四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，
故S_{菱形A2B2C2D2}=5.625（平方米），
∴从节省材料的角度考虑，
采用方案2（如图）的菱形硬纸板A₂B₂C₂D₂做一个纸箱比方案1更优．

（2）水果商的要求不能办到．
设底面的长与宽分别为 x、y，
则 x+y=0.8，xy=0.3，
即 y=0.8-x 和 y=

0.3

x

，
在 y=0.8-x 中，
当x=0.8，y=0，x=0，y=0.8，
在y=

0.3

x

中，
当x=1，y=0.3，
x=0.3，y=1，画出其图象如图所示．
因为两个函数图象无交点，故水果商的要求无法办到．
解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x，
∴体积为：0.6x·x·0.5=0.3，
解得：x=1，
∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=

1

2

CD=0.3，
WQ=MK=

1

2

AD=

1

2

，
∴QM=

1

2

+0.5+1+0.5+

1

2

=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，
∴矩形硬纸板A₁B₁C₁D₁的面积是3×2.2=6.6（平方米）；
②
如图，连接A₂C₂，B₂D₂相交于O₂，
设△D₂EF中EF边上的高为h₁，△A₂NM中NM边上的高为h₂，
由△D₂EF∽△D₂MQ得，

h1

h1+0.8

=

1

3

，
解得：h₁=0.4，
同理可得出：h ₂=

3

8

，
∴A₂C₂=

15

4

，B₂D₂=3，
又四边形A₂B₂C₂D₂是菱形，
故S_{菱形A2B2C2D2}=5.625（平方米），
∴从节省材料的角度考虑，
采用方案2（如图）的菱形硬纸板A₂B₂C₂D₂做一个纸箱比方案1更优．

（2）水果商的要求不能办到．
设底面的长与宽分别为 x、y，
则 x+y=0.8，xy=0.3，
即 y=0.8-x 和 y=

0.3

x

，
在 y=0.8-x 中，
当x=0.8，y=0，x=0，y=0.8，
在y=

0.3

x

中，
当x=1，y=0.3，
x=0.3，y=1，画出其图象如图所示．
因为两个函数图象无交点，故水果商的要求无法办到．