试题

题目：
已知关于x的方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为
5
5
．
答案
5

解：∵x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0，
·（x4+2x3+x2）+[（2+k）x2+（2+k）x]+2k=0，
·x2（x2+2x+1）+（2+k）（x2+x）+2k=0，
·x2（x+1）2+（2+k）（x2+x）+2k=0，
·（x2+x）2+（2+k）（x2+x）+2k=0，
·（x2+x+2）（x2+x+k）=0，
∵x2+x+2=（x+
1
2
）2+
7
4
≠0，
∴只能是x2+x+k=0，
∵方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0所有实根的乘积为-2，
∴k=-2，即原方程实根的解等价于x2+x-2=0，
∴两实根是-2、1，
所有实根的平方和=（-2）2+12=5．
故答案为：5．
考点梳理
高次方程；解一元二次方程-因式分解法．
首先将方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0，通过拆分项、完全平方式、式子相乘法因式分解转化为（x2+x+2）（x2+x+k）=0
．再通过配方法确定x2+x+2≠0，因而只能是x2+x+k=0，根据一元一次方程根与系数的关系，k=-2，从而解得两实数根．
最后求两实数根的平方和，即是结果．
解决本题的关键是将高次方程x4+2x3+（3+k）x2+（2+k）x+2k=0通过拆分项、完全平方式、因式分解转化成（x2+x+2）（x2+x+k）=0这一形式，且在因式分解中将整式x2+x看做一个整体．
方程思想；整体思想；因式分解．
找相似题