试题

题目：
设x，y为实数，且满足
(x-1)3+2003(x-1)=-1
(y-1)3+2003(y-1)=1
，则x+y=（　　）



答案
C
解：
(x-1)3+2003(x-1)=-1        ①
(y-1)3+2003(y-1)=1         ②

将①+②得，
（x-1）3+2003（x-1）+（y-1）3+2003（y-1）=0
·[（x-1）3+（y-1）3]+[2003（x-1）+2003（y-1）]=0
·（x-1+y-1）[（x-1）2-（x-1）（y+1）+（y-1）2]+2003（x-1+y-1）=0
·（x-1+y-1）[（x-1）2-（x-1）（y-1）+（y-1）2+2003]=0
∵（x-1）2-2（x-1）（y-1）+（y-1）2≥0
∴（x-1）2+（y-1）2≥2|（x-1）（y-1）|≥|（x-1）（y-1）|
∴（x-1）2-（x-1）（y-1）+（y-1）2+2003＞0
∴x-1+y-1=0，即x+y=2．
故选C．
考点梳理
高次方程；因式分解-提公因式法．
观察方程组
(x-1)3+2003(x-1)=-1
(y-1)3+2003(y-1)=1
，发现两方程相加后，所得方程等号坐标再利用平方和公式、提取公因数后，可转化为（x-1+y-1）[（x-1）2-（x-1）（y-1）+（y-1）2+2003]，右边恰好为0．再一步分析（x-1）2-（x-1）（y-1）+（y-1）2+2003＞0，因而只能是x-1+y-1=0，原题得解．
本题考查高次方程．在解题过程中用到了立方和公式、完全平方式、提取公因式．
因式分解．
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