试题

题目：
大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：
1
1×22
+
12×2
=
1×22
-
12×2
(
1×22
+
12×2)
(
1×22
-
12×2
)
=
1×22
-
12×2
1×22-12×2
=1-
2
2
1
2×32
+
22×3
=
2×32
-
22×3
(
2×32
+
22×3
)(
2×32
-
22×3
)
=
2×32
-
22×3
2×32-22×3
=
2
2
-
3
3
…
（1）从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子．
（2）根据以上规律，计算
1
1×22
+
12×2
+
1
2×32
+
22×3
+
1
3×42
+
32×4
+…+
1
9×102
+
92×10
．
答案
解：（1）
1
n(n+1)2
+
n2(n+1)
=
n
n
-
n+1
n+1
；

（2）原式=1-
2
2
+
2
2
-
3
3
+
3
3
-
4
4
+…+
9
9
-
10
10

=1-
10
10
．
解：（1）
1
n(n+1)2
+
n2(n+1)
=
n
n
-
n+1
n+1
；

（2）原式=1-
2
2
+
2
2
-
3
3
+
3
3
-
4
4
+…+
9
9
-
10
10

=1-
10
10
．
考点梳理
因式分解的应用；二次根式的混合运算．
（1）先分母有理化，再化简即可得出规律；
（2）根据（1）的规律采用抵消法即可求解．
考查了因式分解的应用和二次根式的混合运算，关键是掌握
1
n(n+1)2
+
n2(n+1)
=
n
n
-
n+1
n+1
的规律．
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