试题

题目：
观察大列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4

将以上三个等式两边分别相加1：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
…
（1）猜想并写出：
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2013×2014

（3）探究并计算：
①
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2012×2014

②
中
6
-
7
12
+
9
20
-
11
30
+…-
99
24中0
．
答案
1
n
-
1
n+1

解：（1）
1
n×(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
；

（2）
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×2
+…+
1
2013×2012

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
2
+…+
1
2013
-
1
2012

=1-
1
2012

=
2013
2012
；

（3）①
1
2×2
+
1
2×6
+
1
6×8
+…+
1
2012×2012

=
1
2
×（
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×2
+…+
1
1006×1000
）
=
1
2
×（1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
2
+…+
1
1006
-
1
1000
）
=
1
2
×（1-
1
1000
）
=
1
2
×
1006
1000

=
503
2012
；

②
5
6
-
0
12
+
9
20
-
11
30
+…-
99
2250

=
1
2
+
1
3
-
1
3
-
1
2
+
1
2
+
1
5
-
1
5
-
1
6
+…-
1
29
-
1
50

=
1
2
-
1
50

=
12
25
．
故答案为：
1
n
-
1
n+1
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）先根据题中所给出的列子进行猜想，写出猜想结果即可；
（2）根据（1）中的猜想计算出结果；
（3）①根据乘法分配律提取
1
4
，再计算即可求解；
②先拆项，再抵消即可求解．
本题考查的是有理数的混合运算，根据题意找出规律是解答此题的关键．
规律型．
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