试题
题目：
（2002·内江）已知：
x
=
a
+
1
a
（0＜a＜1），求代数式
x
2
+x-6
x
÷
x+3
x
2
-2x
-
x-2+
x
2
-4x
x-2-
x
2
-4x
的值．
答案
解：∵
x
=
a
+
1
a
，
∴x=a+
1
a
+2，
x-2=a+
1
a
，（x-2）
2
=（a+
1
a
）
2
即：x
2
-4x=a
2
+
1
a
2
-2=（a-
1
a
）
2
∴原式=
(x+3)(x-2)
x
·
x(x-2)
x+3
·
x-2+
x
2
-4x
x-2-
x
2
-4x
=（x-2）
2
-
a+
1
a
+
(a-
1
a
)
2
a+
1
a
-
(a-
1
a
)
2
=（a+
1
a
）
2
-
a+
1
a
+
(a-
1
a
)
2
a+
1
a
-
(a-
1
a
)
2
，
∵0＜a＜1，∴a-
1
a
＜0，
∴原式=
a
2
+
1
a
2
+2-
a+
1
a
-a+
1
a
a+
1
a
+a-
1
a
=
a
2
+
1
a
2
+2-
1
a
2
=a
2
+2．
解：∵
x
=
a
+
1
a
，
∴x=a+
1
a
+2，
x-2=a+
1
a
，（x-2）
2
=（a+
1
a
）
2
即：x
2
-4x=a
2
+
1
a
2
-2=（a-
1
a
）
2
∴原式=
(x+3)(x-2)
x
·
x(x-2)
x+3
·
x-2+
x
2
-4x
x-2-
x
2
-4x
=（x-2）
2
-
a+
1
a
+
(a-
1
a
)
2
a+
1
a
-
(a-
1
a
)
2
=（a+
1
a
）
2
-
a+
1
a
+
(a-
1
a
)
2
a+
1
a
-
(a-
1
a
)
2
，
∵0＜a＜1，∴a-
1
a
＜0，
∴原式=
a
2
+
1
a
2
+2-
a+
1
a
-a+
1
a
a+
1
a
+a-
1
a
=
a
2
+
1
a
2
+2-
1
a
2
=a
2
+2．
考点梳理
考点
分析
点评
二次根式的化简求值．
由已知条件可得：∵
x
=
a
+
1
a
，∴x=a+
1
a
+2，x-2=a+
1
a
，（x-2）
2
=（a+
1
a
）
2
即：x
2
-4x=a
2
+
1
a
2
-2=（a-
1
a
）
2
，化简原式，并代入求值，由a的取值范围确定式子的值．
此题用了整体代入得数学思想，难度较大．
找相似题
（2012·台湾）计算
11
4
2
-6
4
2
-5
0
2
之值为何？（ ）
（2010·临沂）若x-y=
2
-1
，xy=
2
，则代数式（x-1）（y+1）的值等于（ ）
（2006·济南）已知x=
2
，则代数式
x
x-1
的值为（ ）
（2005·荆州）若
a=
1
2
-1
，b=
1
2
+1
，则
ab
(
a
b
-
b
a
)
的值为（ ）
（2005·菏泽）已知
a=
1
5
-2
，b=
1
5
+2
，则
a
2
+
b
2
+7
的值为（ ）