试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，点G是重心，三条中线AD=9，CF=12，BE=15，延长AD至H，使DG=DH，则△ABH的面积为
48
48
．
答案
48

解：根据三角形的重心的性质可知：
GD=
1
3
AD=3，CG=
2
3
CF=8，BG=
2
3
BE=10，
又BD=DC，∠BDH=∠CDG，DG=DH，
∴△BHD≌△CGD，即BH=CG=8，
在△BHG中，BH2+HG2=82+62=102=BG2，
∴∠H=90°，
∴S△ABH=
1
2
×BH×AH=
1
2
×8×（9+3）=48．
考点梳理
三角形的重心；全等三角形的判定；勾股定理的逆定理．
根据三角形的重心的性质可知：GD=
1
3
AD，CG=
2
3
CF，BG=
2
3
BE，又BD=DC，DG=DH，可证△BHD≌△CGD，从而BH=CG，在△BHG中，运用勾股定理的逆定理证明∠H=90°，再计算△ABH的面积．
本题考查了三角形重心的性质，直角三角形的判断方法，以及求三角形面积的问题．
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