试题
题目：
已知x=
n+1
-
n
n+1
+
n
，y=
n+1
+
n
n+1
-
n
（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x
2
+36xy+19y
2
的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．
答案
解：不存在．
∵x+y=
n+1
-
n
n+1
+
n
+
n+1
+
n
n+1
-
n
=(
n+1
-
n
)
2
+(
n+1
+
n
)
2
=n+1-2
n(n+1)
+n+n+1+n+2
n(n+1)
=4n+2．
xy=
n+1
-
n
n+1
+
n
·
n+1
+
n
n+1-
n
=1．
假设存在n使代数式19x
2
+36xy+19y
2
的值为1998．
即19x
2
+36xy+19y
2
=1998．
19x
2
+19y
2
=1962，（x
2
+y
2
）=
1 962
19
．
（x+y）
2
=
1 962
19
+
38
19
=
2 000
19
. x+y=
2 000
19
=
20
95
19
．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=
20
95
19
不为整数．
∴不存在这样的自然数n．
解：不存在．
∵x+y=
n+1
-
n
n+1
+
n
+
n+1
+
n
n+1
-
n
=(
n+1
-
n
)
2
+(
n+1
+
n
)
2
=n+1-2
n(n+1)
+n+n+1+n+2
n(n+1)
=4n+2．
xy=
n+1
-
n
n+1
+
n
·
n+1
+
n
n+1-
n
=1．
假设存在n使代数式19x
2
+36xy+19y
2
的值为1998．
即19x
2
+36xy+19y
2
=1998．
19x
2
+19y
2
=1962，（x
2
+y
2
）=
1 962
19
．
（x+y）
2
=
1 962
19
+
38
19
=
2 000
19
. x+y=
2 000
19
=
20
95
19
．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=
20
95
19
不为整数．
∴不存在这样的自然数n．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
二次根式的化简求值．
假设存在，将已知条件化简，求出x+y=2（2n+1），xy=1，代入19x
2
+36xy+19y
2
=1998中看是否有符合条件的2n．
此题采用的是反证法：先假设成立，再推翻假设，得出不成立．
开放型．
找相似题
（2012·台湾）计算
11
4
2
-6
4
2
-5
0
2
之值为何？（ ）
（2010·临沂）若x-y=
2
-1
，xy=
2
，则代数式（x-1）（y+1）的值等于（ ）
（2006·济南）已知x=
2
，则代数式
x
x-1
的值为（ ）
（2005·荆州）若
a=
1
2
-1
，b=
1
2
+1
，则
ab
(
a
b
-
b
a
)
的值为（ ）
（2005·菏泽）已知
a=
1
5
-2
，b=
1
5
+2
，则
a
2
+
b
2
+7
的值为（ ）