试题

题目：
设a，b为有理数，已知A=
a+
2
b+
2
，B=（a+
2
）（b+
2
），满足B=
8A
(1+A)2
的关系，试根据“
2
为无理数”，确定a与b的关系．
答案
解：∵A=
a+
2
b+
2
，B=（a+
2
）（b+
2
），满足B=
8A
(1+A)2
；
∴（a+
2
）（b+
2
）=
8×
a+
2
b+
2
(1+
a+
2
b+
2
) 2
，
整理得：（a+
2
）（b+
2
）=
8(a+
2
)
(1+
a+
2
b+
2
) 2(b+
2
) 
，
∴b+
2
=
8
(1+
a+
2
b+
2
) 2(b+
2
)
，
∴（1+
a+
2
b+
2
）2（b+
2
）2=8，
∴
(b+a+2
2
) 2
(b+
2
) 2
×（b+
2
）2=8，
∴（b+a+2
2
）2=8，
∴（b+a+2
2
）=±2
2
，
∵a，b为有理数，
∴b+a+2
2
=2
2
，
∴a+b=0，
∴a，b是互为相反数．
解：∵A=
a+
2
b+
2
，B=（a+
2
）（b+
2
），满足B=
8A
(1+A)2
；
∴（a+
2
）（b+
2
）=
8×
a+
2
b+
2
(1+
a+
2
b+
2
) 2
，
整理得：（a+
2
）（b+
2
）=
8(a+
2
)
(1+
a+
2
b+
2
) 2(b+
2
) 
，
∴b+
2
=
8
(1+
a+
2
b+
2
) 2(b+
2
)
，
∴（1+
a+
2
b+
2
）2（b+
2
）2=8，
∴
(b+a+2
2
) 2
(b+
2
) 2
×（b+
2
）2=8，
∴（b+a+2
2
）2=8，
∴（b+a+2
2
）=±2
2
，
∵a，b为有理数，
∴b+a+2
2
=2
2
，
∴a+b=0，
∴a，b是互为相反数．
考点梳理
二次根式的化简求值．
首先将A=
a+
2
b+
2
，B=（a+
2
）（b+
2
），代入B=
8A
(1+A)2
，进行整理约分，从而得出（b+a+2
2
）2=8，再利用a，b为有理数进而求出a与b的关系．
此题主要考查了二次根式的化简求值，将A，B的值代入整理计算量较大，正确地进行约分化简是解决问题的关键．
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