试题

如果a=

1

2

2 + 1 8

-

1

8

2

，求a²+

a4+a+1

的值．

解：
解法一：因为8a+

2

=

16 2 +2

平方得：64a²+16a

2

+2=16

2

+2
由此得：4a²+a

2

-

2

=0
设x=

a4+a+1

+a²，
y=

a4+a+1

-a²，
得xy=a+1
x-y=2a²=

4 a2

2

=

2 -a  2

2

=

1

2

（1-a）
因此x与y是关于t的方程
t²-

1

2

（1-a）t-（a+1）=0的两根，
有t_1、2=

1 2 (1-a)±  a2-2a+1 2 +4a+4

2

\
=

(1-a)±(a+3)

2 2

，则t₁=

2

，t₂=-

a+1

2

因为x＞y且a＜1，则

a+1

2

＜

2

，
因此x=

2

，即a²+

a4+a+1

=

2

；
解法二：由已知条件得（a+

2

8

）²=

1

4

（

2

+

1

8

）
∴a²+

2

4

a=

2

4

，∴

2

2

a²+

1

4

a-

1

4

=0，
∴

1

2

-

2

2

a²-

a+1

4

=0      ①
这表明

2

2

是关于t的方程t²-a²t-

a+1

4

=0     ②
的正实根，因此

2

2

=

1

2

（a²+

a4+a+1

）
∴a²+

a4+a+1

=

2

；
解法三：由已知得：a+

1

8

2

=

1

2

2 + 1 8

两边平方，得：a²+

1

4

2

a+

1

32

=

1

4

2

+

1

32

移项，得：a²=

2

4

（1-a）      ①
则a⁴=

1

8

（1-a）²②
∴a²+

a4+a+1

=

2

4

（1-a）+

(1-a)2 8 +a+1

=

2

4

（1-a）+

1 8 (1-2a+ a2+8a+8)

=

2

4

（1-a）+

2

4

(a+3)2

=

2

4

（1-a+a+3）=

2

；
解法四：由已知得：a+

1

8

2

=

1

2

2 + 1 8

两边平方，得：a²+

1

4

2

a+

1

32

=

1

4

2

+

1

32

∴

2

4

a=-a²+

2

4

，
两边乘以2

2

，得a=-2

2

a²+1
两边加上a⁴+1，得
a⁴+1+a=-2

2

a²+a⁴+2
即a⁴+a+1=（

2

-a²）²，
显然0＜a＜1，0＜a²＜1，
∴

2

-a²＞0，
∴

a4+a+1

=

2

-a²，
∴a²+

a4+a+1

=

2

．
解：
解法一：因为8a+

2

=

16 2 +2

平方得：64a²+16a

2

+2=16

2

+2
由此得：4a²+a

2

-

2

=0
设x=

a4+a+1

+a²，
y=

a4+a+1

-a²，
得xy=a+1
x-y=2a²=

4 a2

2

=

2 -a  2

2

=

1

2

（1-a）
因此x与y是关于t的方程
t²-

1

2

（1-a）t-（a+1）=0的两根，
有t_1、2=

1 2 (1-a)±  a2-2a+1 2 +4a+4

2

\
=

(1-a)±(a+3)

2 2

，则t₁=

2

，t₂=-

a+1

2

因为x＞y且a＜1，则

a+1

2

＜

2

，
因此x=

2

，即a²+

a4+a+1

=

2

；
解法二：由已知条件得（a+

2

8

）²=

1

4

（

2

+

1

8

）
∴a²+

2

4

a=

2

4

，∴

2

2

a²+

1

4

a-

1

4

=0，
∴

1

2

-

2

2

a²-

a+1

4

=0      ①
这表明

2

2

是关于t的方程t²-a²t-

a+1

4

=0     ②
的正实根，因此

2

2

=

1

2

（a²+

a4+a+1

）
∴a²+

a4+a+1

=

2

；
解法三：由已知得：a+

1

8

2

=

1

2

2 + 1 8

两边平方，得：a²+

1

4

2

a+

1

32

=

1

4

2

+

1

32

移项，得：a²=

2

4

（1-a）      ①
则a⁴=

1

8

（1-a）²②
∴a²+

a4+a+1

=

2

4

（1-a）+

(1-a)2 8 +a+1

=

2

4

（1-a）+

1 8 (1-2a+ a2+8a+8)

=

2

4

（1-a）+

2

4

(a+3)2

=

2

4

（1-a+a+3）=

2

；
解法四：由已知得：a+

1

8

2

=

1

2

2 + 1 8

两边平方，得：a²+

1

4

2

a+

1

32

=

1

4

2

+

1

32

∴

2

4

a=-a²+

2

4

，
两边乘以2

2

，得a=-2

2

a²+1
两边加上a⁴+1，得
a⁴+1+a=-2

2

a²+a⁴+2
即a⁴+a+1=（

2

-a²）²，
显然0＜a＜1，0＜a²＜1，
∴

2

-a²＞0，
∴

a4+a+1

=

2

-a²，
∴a²+

a4+a+1

=

2

．