试题

题目：
（1）定义f(x)=
1
3x2+2x+1
+
3x2-1
+
3x2-2x+1
，求f（1）+f（3）+…+f（2k-1）+f（999）的值；
（2）设x、y都是正整数，且使
x-116
+
x+100
=y，求y的最大值．
答案
解：（1）∵f(x)=
1
3x2+2x+1
+
3x2-1
+
3x2-2x+1

=
3x+1
-
3x-1
[
3(x+1)2
+
3(x+1)(x-1)
+
3(x-1)2
](
3x+1
-
3x-1
)

=
3x+1
-
3x-1
2
，
∴原式=
32
2
+
34
-
32
2
+
36
-
34
2
+…+
31000
-
3998
2

=5；
（2）∵x-116、x+100、y都为整数，
∴
x-116
、
x+100
必为整数，
设x-116=m2，x+100=n2，（m＜n，m、n为正整数）
两式相减，得n2-m2=（n+m）（n-m）=216=4×54=2×108，
当m+n=108时，y的值最大，最大值为108．
解：（1）∵f(x)=
1
3x2+2x+1
+
3x2-1
+
3x2-2x+1

=
3x+1
-
3x-1
[
3(x+1)2
+
3(x+1)(x-1)
+
3(x-1)2
](
3x+1
-
3x-1
)

=
3x+1
-
3x-1
2
，
∴原式=
32
2
+
34
-
32
2
+
36
-
34
2
+…+
31000
-
3998
2

=5；
（2）∵x-116、x+100、y都为整数，
∴
x-116
、
x+100
必为整数，
设x-116=m2，x+100=n2，（m＜n，m、n为正整数）
两式相减，得n2-m2=（n+m）（n-m）=216=4×54=2×108，
当m+n=108时，y的值最大，最大值为108．
考点梳理
二次根式的化简求值；分母有理化．
（1）将定义的式子根据立方差公式化简，找出一般规律，再代值计算，寻找抵消规律；
（2）已知等式右边为整数，左边的两个二次根式必为整数，故设x-116=m2，x+100=n2，两式相减利用平方差公式进行求解．
本题考查了立方根的化简，寻找抵消规律，二次根式与整数的关系问题，运用了立方差公式、平方差公式，具有一定的综合性．
计算题．
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