试题

题目：
（2011·成都）设S1=1+
1
12
+
1
22
，S2=1+
1
22
+
1
32
，S3=1+
1
32
+
1
42
，…，Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
．
设S=
S1
+
S2
+…+
Sn
，则S=
n2+2n
n+1
n2+2n
n+1
 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）．
答案
n2+2n
n+1

解：∵Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，
∴
Sn
=
n(n+1)+1
n(n+1)
=1+
1
n(n+1)
=1+
1
n
-
1
n+1
，
∴S=1+1-
1
2
+1+
1
2
-
1
3
+…+1+
1
n
-
1
n+1

=n+1-
1
n+1

=
(n+1)2-1
n+1
=
n2+2n
n+1
．
故答案为：
n2+2n
n+1
．
考点梳理
二次根式的化简求值．
由Sn=1+
1
n2
+
1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+(n+1)2+n2 
n2(n+1)2
=
[n(n+1)]2+2n2+2n+1
[n(n+1)]2
=
[n(n+1)+1]2
[n(n+1)]2
，求
Sn
，得出一般规律．
本题考查了二次根式的化简求值．关键是由Sn变形，得出一般规律，寻找抵消规律．
计算题；压轴题；规律型．
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