试题

已知关于x的一元二次方程（6-k）（9-k）x²-（117-15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．

解：原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x₁=

9

6-k

①，x₂=

6

9-k

②．
由①得k=

6x1-9

x1

，由②得k=

9x2-6

x2

，
∴

6x1-9

x1

=

9x2-6

x2

，
整理得x₁x₂-2x₁+3x₂=0，
有（x₁+3）（x₂-2）=-6．
∵x₁、x₂均为整数，
∴

x1+3=-6，-3，-2，-1，1，2，3，6 x2-2=1，2，3，6，-6，-3，-2，-1

．
故x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=

6x1-9

x1

=6-

9

x1

，
将x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，

15

2

，

39

5

，

33

4

，

21

2

，15，3．
解：原方程可化为：[（6-k）x-9][（9-k）x-6]=0．
因为此方程是关于x的一元二次方程，
所以，k≠6，k≠9，
于是有：x₁=

9

6-k

①，x₂=

6

9-k

②．
由①得k=

6x1-9

x1

，由②得k=

9x2-6

x2

，
∴

6x1-9

x1

=

9x2-6

x2

，
整理得x₁x₂-2x₁+3x₂=0，
有（x₁+3）（x₂-2）=-6．
∵x₁、x₂均为整数，
∴

x1+3=-6，-3，-2，-1，1，2，3，6 x2-2=1，2，3，6，-6，-3，-2，-1

．
故x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，0，3．
又k=

6x1-9

x1

=6-

9

x1

，
将x₁=-9，-6，-5，-4，-2，-1，3分别代入，得
k=7，

15

2

，

39

5

，

33

4

，

21

2

，15，3．