试题
题目：
利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=
1
2
[（a-b）
2
+（b-c）
2
+（a-c）
2
]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美；
（1）请你检验说明这个等式的正确性．
（2）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac的值吗？
（3）若a-b=
3
5
，b-c=
3
5
，a
2
+b
2
+c
2
=1，求ab+bc+ac的值．
答案
解：（1）等式右边=
1
2
（a
2
-2ab+b
2
+b
2
-2bc+c
2
+a
2
-2ac+c
2
）=
1
2
（2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc-2ac）=a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=左边，得证；
（2）当a=2011，b=2012，c=2013时，a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=
1
2
[（a-b）
2
+（b-c）
2
+（a-c）
2
]=3；
（3）∵a-b=
3
5
，b-c=
3
5
，∴a-c=
6
5
，
∵a
2
+b
2
+c
2
=1，
∴ab+bc+ac=a
2
+b
2
+c
2
-
1
2
[（a-b）
2
+（b-c）
2
+（a-c）
2
]=1-
1
2
（
9
25
+
9
25
+
36
25
）=-
2
25
．
解：（1）等式右边=
1
2
（a
2
-2ab+b
2
+b
2
-2bc+c
2
+a
2
-2ac+c
2
）=
1
2
（2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc-2ac）=a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=左边，得证；
（2）当a=2011，b=2012，c=2013时，a
2
+b
2
+c
2
-ab-bc-ac=
1
2
[（a-b）
2
+（b-c）
2
+（a-c）
2
]=3；
（3）∵a-b=
3
5
，b-c=
3
5
，∴a-c=
6
5
，
∵a
2
+b
2
+c
2
=1，
∴ab+bc+ac=a
2
+b
2
+c
2
-
1
2
[（a-b）
2
+（b-c）
2
+（a-c）
2
]=1-
1
2
（
9
25
+
9
25
+
36
25
）=-
2
25
．
考点梳理
考点
分析
点评
专题
因式分解的应用．
（1）等式右边中括号中利用完全平方公式站那看，合并后去括号得到结果，与左边比较即可得证；
（2）根据（1）中的结论，将a，b，c的值代入右边计算即可求出值；
（3）由题意求出a-c的值，所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了因式分解的应用，弄清题意是解本题的关键．
计算题．
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