试题

题目：
青果学院如图，抛物线y=-x2+px+q的顶点M在第一象限，与x轴和y轴的正半轴分别交于点A、B，其中A的坐标为（2，0），且四边形AOMB的面积为
11
4
，求p、q的值．
答案
青果学院解：如图，
点B的坐标为（0，q），顶点M的坐标为（
p
2
，
4q+p2
4
），
过点M作MG⊥x轴，垂足为G，
所以S四边形AOMB=S梯形BOGM+S△AMG=
1
2
（q+
4q+p2
4
）·
p
2
+
1
2
（2-
p
2
）
4q+p2
4
，
=
pq
4
+
4q+p2
4
=
11
4
①；
把A（2，0）代入抛物线y=-x2+px+q得，
2p+q=4②；
①②联立方程，得
pq
4
+
4q+p2
4
=
11
4
2p+q=4
，
解得
p1=1
q1=2
，
p2=-
1
5
q2=
22
5
（不合题意，舍去）；
故p=1，q=2．
青果学院解：如图，
点B的坐标为（0，q），顶点M的坐标为（
p
2
，
4q+p2
4
），
过点M作MG⊥x轴，垂足为G，
所以S四边形AOMB=S梯形BOGM+S△AMG=
1
2
（q+
4q+p2
4
）·
p
2
+
1
2
（2-
p
2
）
4q+p2
4
，
=
pq
4
+
4q+p2
4
=
11
4
①；
把A（2，0）代入抛物线y=-x2+px+q得，
2p+q=4②；
①②联立方程，得
pq
4
+
4q+p2
4
=
11
4
2p+q=4
，
解得
p1=1
q1=2
，
p2=-
1
5
q2=
22
5
（不合题意，舍去）；
故p=1，q=2．
考点梳理
二次函数综合题．
首先求得抛物线的顶点坐标，与y轴交点的坐标，作MG⊥x轴，用p、q表示求得四边形AOMB的面积，再把A点坐标代入抛物线y=-x2+px+q得到另一个关于p、q的方程，由此联立方程解答问题．
此题考查二次函数的顶点坐标求法以及利用梯形的面积与三角形的面积解决问题．
计算题．
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