试题

题目：
青果学院（2010·资阳）如图，已知点A1，A2，…，A2011在函数y=x2位于第二象限的图象上，点B1，B2，…，B2011在函数y=x2位于第一象限的图象上，点C1，C2，…，C2011在y轴的正半轴上，若四边形OA1C1B1、C1A2C2B2，…，C2010A2011C2011B2011都是正方形，则正方形C2010A2011C2011B2011的边长为（　　）



答案
D
解：∵OA1C1B1是正方形，
∴OB1与y轴的夹角为45°，
∴OB1的解析式为y=x，
联立
y=x
y=x2
，
解得
x1=0
y1=0
，
x2=1
y2=1
，
∴点B1（1，1），
OB1=
12+12
=
2
，
∵OA1C1B1是正方形，
∴OC1=
2
OB1=
2
×
2
=2，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1B2的解析式为y=x+2，
联立
y=x+2
y=x2
，
解得
x1=-1
y1=1
，
x2=2
y2=4
，
∴点B2（2，4），
C1B2=
22+(4-2)2
=2
2
，
∵C1A2C2B2是正方形，
∴C1C2=
2
C1B2=
2
×2
2
=4，
∴C2B3的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立
y=x+6
y=x2
，
解得
x1=-2
y1=4
，
x2=3
y2=9
，
∴点B3（3，9），
C2B3=
32+(9-6)2
=3
2
，
…，
依此类推，正方形C2010A2011C2011B2011的边长C2010B2011=2011
2
．
故选D．
考点梳理
二次函数综合题．
根据正方形对角线平分一组对角可得OB1与y轴的夹角为45°，然后表示出OB1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B1的坐标，然后求出OB1的长，再根据正方形的性质求出OC1，表示出C1B2的解析式，与抛物线联立求出B2的坐标，然后求出C1B2的长，再求出C1C2的长，然后表示出C2B3的解析式，与抛物线联立求出B3的坐标，然后求出C2B3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．
本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．
压轴题；规律型．
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