试题

抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，设抛物线y=ax²+bx+3的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移后抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的取值范围；
（3）如图2，将抛物线y=ax²+bx+3平移，平移后抛物线与x轴交于点E、F，与y轴交于点N，当E（-1，0）、F（5，0）时，在抛物线上是否存在点G，使△GFN中FN边上的高为7

2

？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线解析式y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=

1

2

x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴当

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意．
∴平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是

-1- 145

4

≤h≤

-1+ 145

4

或h=4．

（3）平移后，当E（-1，0）、F（5，0）时，抛物线的解析式为：
y=（x+1）（x-5），即y=x²-4x-5．
当x=0时，y=-5．
∴N（0，-5）．
∴OF=ON=5，
假设存在点G，使△GFN中FN边上的高为7

2

，
∴G点应在与直线FN平行，且相距7

2

的两条平行线l₁（如图所示）和l₂（在直线FN下方且平行于直线FN）上．
由平行的性质可以知道l1和l2与y轴的交点到直线FN的距离也为7

2

，如图，设l1与y轴交于点P，过点P作PQ⊥FN，垂足为Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=∠OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7

2

，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=

2

PQ=14．
∴直线l1与y轴的交点坐标为P（0，9）．
同理可得：直线l2与y轴的交点坐标为R（0，-19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，-5），
∴容易求得直线FN的解析式为：y=x-5．
∴直线l₁、l₂的解析式分别为l₁：y=x+9；l₂：y=x-19．
根据题意，列方程组：①

y=x2-4x-5 y=x+9

，②

y=x2-4x-5 y=x-19

，
由①，得x²-5x-14=0，解得x₁=7，x₂=-2
∴

x1=7 y1=16

，

x2=-2 y2=7

．
∴G₁（7，16），G₂（-2，7）．
由②，得x²-5x+14=0．
∵△=（-5）2-4×1×14＜0，此方程无实数根．
∴在抛物线上存在点G，使△GFN中FN边上的高为7

2

．点G的坐标为：
G₁（7，16），G₂（-2，7）．

解：（1）抛物线解析式y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=1 b=4

，
∴抛物线的解析式为y=x²+4x+3．

（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为M（-2，-1），
∴直线OD的解析式为y=

1

2

x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

1

2

h），
∴平移后的抛物线的解析式为y=（x-h）²+

1

2

h，
当抛物线经过点C时，∵C（0，9），
∴h²+

1

2

h=9．
解得h=

-1± 145

4

，
∴当

-1- 145

4

≤h＜

-1+ 145

4

时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点；
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组

y=(x-h)2+ 1 2 h y=-2x+9

，
得x²+（-2h+2）x+h²+

1

2

h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+

1

2

h-9）=0，
解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与直线CD唯一的公共点为（3，3），点（3，3）在射线CD上，符合题意．
∴平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是

-1- 145

4

≤h≤

-1+ 145

4

或h=4．

（3）平移后，当E（-1，0）、F（5，0）时，抛物线的解析式为：
y=（x+1）（x-5），即y=x²-4x-5．
当x=0时，y=-5．
∴N（0，-5）．
∴OF=ON=5，
假设存在点G，使△GFN中FN边上的高为7

2

，
∴G点应在与直线FN平行，且相距7

2

的两条平行线l₁（如图所示）和l₂（在直线FN下方且平行于直线FN）上．
由平行的性质可以知道l1和l2与y轴的交点到直线FN的距离也为7

2

，如图，设l1与y轴交于点P，过点P作PQ⊥FN，垂足为Q，
∵OF=ON，
∴∠ONF=∠OFN=45°．
在Rt△PQN中，PQ=7

2

，∠PNQ=∠ONF=45°，
由勾股定理，得PN=

2

PQ=14．
∴直线l1与y轴的交点坐标为P（0，9）．
同理可得：直线l2与y轴的交点坐标为R（0，-19）．
∵OF=ON=5，
∴F（5，0），N（0，-5），
∴容易求得直线FN的解析式为：y=x-5．
∴直线l₁、l₂的解析式分别为l₁：y=x+9；l₂：y=x-19．
根据题意，列方程组：①

y=x2-4x-5 y=x+9

，②

y=x2-4x-5 y=x-19

，
由①，得x²-5x-14=0，解得x₁=7，x₂=-2
∴

x1=7 y1=16

，

x2=-2 y2=7

．
∴G₁（7，16），G₂（-2，7）．
由②，得x²-5x+14=0．
∵△=（-5）2-4×1×14＜0，此方程无实数根．
∴在抛物线上存在点G，使△GFN中FN边上的高为7

2

．点G的坐标为：
G₁（7，16），G₂（-2，7）．