试题

题目：
青果学院如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．
（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S
方法一：S=
ab+b2
ab+b2

方法二：S=
ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2．
ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2．

（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c=5，a=3，S的值．
答案
ab+b2

ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2．

解：（1）由题意，得
方法一：S1=b（a+b）=ab+b2
方法二：S2=
1
2
ab+
1
2
ab+
1
2
（b-a）（b+a）+
1
2
c2，
=ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2．

（2）∵S1=S2，
∴ab+b2=ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2，
∴2ab+2b2=2ab+b2-a2+c2，
∴a2+b2=c2．

（3）∵a2+b2=c2．且c=5，a=3，
∴b=4，
∴S=3×4+16
=28．
答：S的值为28．
故答案为：ab+b2，ab+
1
2
b2-
1
2
a2+
1
2
c2．
考点梳理
整式的混合运算；整式的混合运算—化简求值．
（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；
方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可；
（2）根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；
（3）先由（2）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论．
本题考查了整式的混合运算的运用，矩形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，化简求值的运用．
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