试题

已抛物线y=3x²+ax+

1

36

(3a2+2b)
（1）甲学生说：当a取任何不同的数值时，所对应的抛物线都有完全相同的形状；乙学生说：a取不同的数值时，所对应的抛物线的形状也不同．你认为哪位学生说法正确，为什么？
（2）若取a=-2，a=3时所对应的抛物线的顶点分别为A、B．请你求出直线AB的解析式．并判断：当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点是否也在直线AB上？说明理由．

解：（1）根据y=3x²+ax+

1

36

(3a2+2b)，二次项系数3决定抛物线的开口方向和大小，所以a取任何不同的数值时，对应的抛物线的形状完全相同．
（2）当a=-2时，抛物线为y=3x²-2x+

1

36

（12+2b），顶点坐标为（

1

3

，

1

18

b）；
当a=3时，抛物线为y=3x²+3x+

1

36

（27+2b），顶点坐标为（-

1

2

，

1

18

b）；
设直线AB的解析式为y=kx+n，则

1 3 k+n= 1 18 b - 1 2 k+n= 1 18 b

，
解得

k=0 n= 1 18 b

．
即直线AB的解析式为y=

1

18

b．
当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．理由如下：
∵抛物线y=3x²+ax+

1

36

(3a2+2b)的顶点坐标为（-

a

6

，

1

18

b），
∴无论a取何值，此抛物线的顶点纵坐标都是

1

18

b，
即顶点在直线y=

1

18

b上．
故当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．
解：（1）根据y=3x²+ax+

1

36

(3a2+2b)，二次项系数3决定抛物线的开口方向和大小，所以a取任何不同的数值时，对应的抛物线的形状完全相同．
（2）当a=-2时，抛物线为y=3x²-2x+

1

36

（12+2b），顶点坐标为（

1

3

，

1

18

b）；
当a=3时，抛物线为y=3x²+3x+

1

36

（27+2b），顶点坐标为（-

1

2

，

1

18

b）；
设直线AB的解析式为y=kx+n，则

1 3 k+n= 1 18 b - 1 2 k+n= 1 18 b

，
解得

k=0 n= 1 18 b

．
即直线AB的解析式为y=

1

18

b．
当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．理由如下：
∵抛物线y=3x²+ax+

1

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(3a2+2b)的顶点坐标为（-

a

6

，

1

18

b），
∴无论a取何值，此抛物线的顶点纵坐标都是

1

18

b，
即顶点在直线y=

1

18

b上．
故当a取其它实数时，所对应的抛物线的顶点也在直线AB上．