试题

题目：
（2005·乌鲁木齐）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点M（0，-3），并与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x12+x22=10．试求这个二次函数的解析式．
答案
解：∵函数y=x2+bx+c图象过点（0，-3），
∴c=-3，
∴函数解析式为y=x2+bx-3，
又∵该二次函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，所以方程x2+bx-3=0的两个根分别为x1，x2，
则有
x1+x2=-b
x1x2=-3
x12+x22=10
．
解得b=±2，
∴二次函数为y=x2+2x-3或y=x2-2x-3．
解：∵函数y=x2+bx+c图象过点（0，-3），
∴c=-3，
∴函数解析式为y=x2+bx-3，
又∵该二次函数图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，所以方程x2+bx-3=0的两个根分别为x1，x2，
则有
x1+x2=-b
x1x2=-3
x12+x22=10
．
解得b=±2，
∴二次函数为y=x2+2x-3或y=x2-2x-3．
考点梳理
抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．
本题是用待定系数法求二次函数的解析式，由图象过点M（0，-3），可知c=-3，图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，就相当于方程x2+bx-3=0两个根分别为x1，x2，由两根关系求解代入二次函数即可．
二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；与y轴的交点就是二次函数c的值；注意使用一元二次方程根与系数的关系求解关于两根的问题．
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