试题

（2004·宿迁）已知抛物线y=-x²+mx-m+2．
（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=

5

，试求m的值；
（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

解：（1）设点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的两根．
∵x₁+x₂=m，x₁·x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值为1．

（2）设M（a，b），则N（-a，-b）．
∵M、N是抛物线上的两点，
∴

-a2+ma-m+2=b…① -a2-ma-m+2=-b…②

①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，
∴a=±

2-m

．
这时M、N到y轴的距离均为

2-m

，
又∵点C坐标为（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2×

1

2

×（2-m）×

2-m

=27，
解得m=-7．
解：（1）设点A（x₁，0），B（x₂，0），则x₁，x₂是方程-x²+mx-m+2=0的两根．
∵x₁+x₂=m，x₁·x₂=m-2＜0即m＜2，
又∵AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

，
∴m²-4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值为1．

（2）设M（a，b），则N（-a，-b）．
∵M、N是抛物线上的两点，
∴

-a2+ma-m+2=b…① -a2-ma-m+2=-b…②

①+②得：-2a²-2m+4=0，
∴a²=-m+2，
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，
∴a=±

2-m

．
这时M、N到y轴的距离均为

2-m

，
又∵点C坐标为（0，2-m），而S_△MNC=27，
∴2×

1

2

×（2-m）×

2-m

=27，
解得m=-7．