试题

（2010·延庆县二模）已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0
（1）求证：当a＜0时，方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

解：（1）△=1-8a
∵a＜0，
∴-8a＞0即：△＞0
∴方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根．

（2）：原式=-（x²-x-2），
=-(x-

1

2

)2+

9

4

∵不论x为何值，-（x-

1

2

）²≤0，
∴原式=-（x-

1

2

）²+

9

4

≤

9

4

，
∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
∴代数式-x²+x+2的值为1，2，
当-x²+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当-x²+x+2=2时，x=0或1，
答：x的值是0或1．

（3）解：∵当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴a1=

-m-2

m2

，a2=

-n-2

n2

，
∴a1-a2=

-m-2

m2

-

-n-2

n2

=

-(m+2)n2+(n+2)m2

m2n2

=

-mn2-2n2+nm2+2m2

m2n2

=

mn(m-n)+2(m+n)(m-n)

m2n2

=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

，

∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

＜0，
∴a₁＜a₂．
解：（1）△=1-8a
∵a＜0，
∴-8a＞0即：△＞0
∴方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根．

（2）：原式=-（x²-x-2），
=-(x-

1

2

)2+

9

4

∵不论x为何值，-（x-

1

2

）²≤0，
∴原式=-（x-

1

2

）²+

9

4

≤

9

4

，
∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
∴代数式-x²+x+2的值为1，2，
当-x²+x+2=1时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当-x²+x+2=2时，x=0或1，
答：x的值是0或1．

（3）解：∵当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0），
∴0=a₁m²+m+2①，
∵当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0），
∴0=a₂n²+n+2②，
∴a1=

-m-2

m2

，a2=

-n-2

n2

，
∴a1-a2=

-m-2

m2

-

-n-2

n2

=

-(m+2)n2+(n+2)m2

m2n2

=

-mn2-2n2+nm2+2m2

m2n2

=

mn(m-n)+2(m+n)(m-n)

m2n2

=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

，

∵点M在点N的左边，且M、N均在x轴正半轴，
∴m＞0，n＞0，m＜n，
∴mn+2m+2n＞0，m-n＜0，m²n²＞0，
∴a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

＜0，
∴a₁＜a₂．