试题

（2002·黄石）已知抛物线y=-x²+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x₁，0）、B（x₂，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交了轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．

解：（1）证明：∵△=m²-4×（-1）（7-2m）
=m²-8m+28
=（m-4）²+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；

（2）解：由AB=4得|x₂-x₁|=4，
∴（x₂-x₁）²=16，
即（x₂+x₁）²-4x₁x₂=16，
由根与系数关系得（-m）²-4·（

7-2m

-1

）=16，
即m²-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，
∴m＜

7

2

，
∴m=6舍去，
即m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
解：（1）证明：∵△=m²-4×（-1）（7-2m）
=m²-8m+28
=（m-4）²+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；

（2）解：由AB=4得|x₂-x₁|=4，
∴（x₂-x₁）²=16，
即（x₂+x₁）²-4x₁x₂=16，
由根与系数关系得（-m）²-4·（

7-2m

-1

）=16，
即m²-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，
∴m＜

7

2

，
∴m=6舍去，
即m=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．