试题

（2002·潍坊）已知x₁、x₂是抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴的两个交点的横坐标，且x₁²+x₂²=10．
求：（1）x₁、x₂的值；
（2）抛物线的顶点坐标．

解：（1）抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴有两个交点，
∴当x²-2（m-1）x+m²-7=0时，由根与系数的关系得

x1+x2=2(m-1) x1x2=m2-7

则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-8m+18
因为x₁²+x₂²=10，
所以2m²-8m+18=10，即x²-4x+4=0，
解之得m=2，
将m=2代入x²-2（m-1）x+m²-7=0得方程x²-2x-3=0，
解这个方程得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）因为x₁，x₂是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，
所以抛物线的对称轴为x=1，
将x=1代入抛物线y=x²-2x-3，得y=-4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
解：（1）抛物线y=x²-2（m-1）x+m²-7与x轴有两个交点，
∴当x²-2（m-1）x+m²-7=0时，由根与系数的关系得

x1+x2=2(m-1) x1x2=m2-7

则x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2m²-8m+18
因为x₁²+x₂²=10，
所以2m²-8m+18=10，即x²-4x+4=0，
解之得m=2，
将m=2代入x²-2（m-1）x+m²-7=0得方程x²-2x-3=0，
解这个方程得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）因为x₁，x₂是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，
所以抛物线的对称轴为x=1，
将x=1代入抛物线y=x²-2x-3，得y=-4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，-4）．