试题

（2006·普陀区二模）如果抛物线y=x²+mx+1与x轴相交于两个不同点A、B，顶点为C．那么m为何值时，能使∠ACB=90°？

解：由题意知：△=m²-4＞0，
∴顶点为C(-

m

2

，

4-m2

4

)．
∵抛物线是对称图形，
∴AC=BC．
即当∠ACB=90°时，
△ACB为等腰直角三角形．
∴|AB|=2|

4-m2

4

|．
∵抛物线开口向上，且与x轴有两个不同的交点，
∴

4-m2

4

＜0．
∴AB=2(-

4-m2

4

)=

m2-4

2

．
又∵AB=

(xA+xB)2-4xAxB

=

m2-4

，
∴

m2-4

=

m2-4

2

．
∵

m2-4

=AB＞0，
∴

m2-4

2

=1，解得m=±2

2

．
∴当m=±2

2

时，能使∠ACB=90°．
解：由题意知：△=m²-4＞0，
∴顶点为C(-

m

2

，

4-m2

4

)．
∵抛物线是对称图形，
∴AC=BC．
即当∠ACB=90°时，
△ACB为等腰直角三角形．
∴|AB|=2|

4-m2

4

|．
∵抛物线开口向上，且与x轴有两个不同的交点，
∴

4-m2

4

＜0．
∴AB=2(-

4-m2

4

)=

m2-4

2

．
又∵AB=

(xA+xB)2-4xAxB

=

m2-4

，
∴

m2-4

=

m2-4

2

．
∵

m2-4

=AB＞0，
∴

m2-4

2

=1，解得m=±2

2

．
∴当m=±2

2

时，能使∠ACB=90°．