Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y=frac{k}{x}（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2...-青果题库-青果学院

题目：

Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数y=

k

x

(k≠0)在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求m与n的数量关系；
（2）当tan∠A=

1

2

时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式；
（3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP相似，求点P的坐标．

答案

解：（1）∵D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴

4m=k

2n=k.

整理，得n=2m．；

（2）如图1，过点E作EH⊥BC，垂足为H．
在Rt△BEH中，tan∠BEH=tan∠A=

1

2

，
EH=2，所以BH=1．
因此D（4，m），E（2，2m），B（4，2m+1）．
已知△BDE的面积为2，
所以

1

2

BD·EH=

1

2

(m+1)×2=2．青果学院

解得m=1．
因此D（4，1），E（2，2），B（4，3）．
因为点D（4，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
所以k=4．
因此反比例函数的解析式为y=

4

x

．
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入B（4，3）、E（2，2），
得

3=4k+b

2=2k+b.

解得：

k=

1

2

b=1

．
因此直线AB的函数解析式为y=

1

2

x+1．

（3）因为直线y=

1

2

x+1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），
所以FD∥x轴，∠EFP=∠EAO．青果学院

因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况：
①如图2，当

EA

AO

=

EF

FP

时，

2

5

2

=

5

FP

解得FP=1．此时点P的坐标为（1，1）．
②如图3，当

EA

AO

=

FP

EF

时，

2

5

2

=

FP

5

．
解得FP=5．
此时点P的坐标为（5，1）．
综上所述，P点坐标为：（1，1），（5，1）．
青果学院