试题

如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=

k

x

也经过A点．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）若点P为x轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q，使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y=

k

x

也经过A点，
∴k=4；

（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，
则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
理由：在△AOP与△ABQ中，
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中

∠OAP=∠BAQ AO=BA ∠AOP=∠ABQ=45°

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），
∴Q（4，1），
经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．
解：（1）过点A分别作AM⊥y轴于M点，AN⊥x轴于N点，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
设点A的坐标为（a，a），
∵点A在直线y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
则点A的坐标为（2，2），
∵双曲线y=

k

x

也经过A点，
∴k=4；

（2）假设双曲线上存在一点Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
过B作BQ⊥x轴交双曲线于Q点，连接AQ，过A点作AP⊥AQ交x轴于P点，
则△APQ为所求作的等腰直角三角形．
理由：在△AOP与△ABQ中，
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中

∠OAP=∠BAQ AO=BA ∠AOP=∠ABQ=45°

，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），
∴Q（4，1），
经检验，在双曲线上存在一点Q（4，1），使得△PAQ是以点A为直角顶点的等腰三角形．