试题

题目：
（2009·南汇区三模）已知一次函数y=
3
4
x+m的图象分别交x轴、y轴于A、B两点（如图），且与反比青果学院例函数y=
24
x
的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值；
（2）如果点P在x轴上，并在点A与点D之间，点Q在线段AC上，且AP=CQ，那么当△APQ与△ADC相似时，求点Q的坐标．
答案
青果学院解：（1）∵点C（4，n）在y=
24
x
的图象上，
∴n=6，
∴C（4，6）（1分）
∵点C（4，6）在y=
3
4
x+m的图象上，
∴m=3（1分）

（2）∵当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4．所以y=
3
4
x+3与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）（2分）
设AP=CQ=t，
∵C（4，6），CD⊥x轴，
∴AD=8，CD=6，
∴AC=10，
∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A，
∴
AP
AQ
=
AD
AC
或
AP
AQ
=
AC
AD
，即
t
10-t
=
8
10
或
t
10-t
=
10
8
（2分）
∴t=
40
9
或t=
50
9
（2分）
∵点Q在直线y=
3
4
x+3上，
∴设Q(x，
3
4
x+3)（-4＜t＜4）（1分）
作QH⊥x轴，则AH=x+4
∵QH∥CD，
∴
AH
AD
=
AQ
AC
，即
x+4
8
=
10-t
10
（1分）
当t=
40
9
时，
x+4
8
=
10-
40
9
10
，解得：x=
4
9
，Q(
4
9
，
10
3
)（1分）
当t=
50
9
时，
x+4
8
=
10-
50
9
10
，解得：x=-
4
9
，Q(-
4
9
，
8
3
)（1分）．
综上所述，Q点的坐标为Q（
4
9
，
10
3
）、（-
4
9
，
8
3
）．
青果学院解：（1）∵点C（4，n）在y=
24
x
的图象上，
∴n=6，
∴C（4，6）（1分）
∵点C（4，6）在y=
3
4
x+m的图象上，
∴m=3（1分）

（2）∵当x=0时，y=3；当y=0时，x=-4．所以y=
3
4
x+3与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B（0，3）（2分）
设AP=CQ=t，
∵C（4，6），CD⊥x轴，
∴AD=8，CD=6，
∴AC=10，
∴AQ=10-t，
∵△APQ与△ADC相似，且∠A=∠A，
∴
AP
AQ
=
AD
AC
或
AP
AQ
=
AC
AD
，即
t
10-t
=
8
10
或
t
10-t
=
10
8
（2分）
∴t=
40
9
或t=
50
9
（2分）
∵点Q在直线y=
3
4
x+3上，
∴设Q(x，
3
4
x+3)（-4＜t＜4）（1分）
作QH⊥x轴，则AH=x+4
∵QH∥CD，
∴
AH
AD
=
AQ
AC
，即
x+4
8
=
10-t
10
（1分）
当t=
40
9
时，
x+4
8
=
10-
40
9
10
，解得：x=
4
9
，Q(
4
9
，
10
3
)（1分）
当t=
50
9
时，
x+4
8
=
10-
50
9
10
，解得：x=-
4
9
，Q(-
4
9
，
8
3
)（1分）．
综上所述，Q点的坐标为Q（
4
9
，
10
3
）、（-
4
9
，
8
3
）．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）把C点坐标代入反比例函数解析式求出n，得C点坐标，再代入一次函数解析式求m；
（2）根据△APQ∽△ADC，然后相似比求解．
此题的相似没有注明对应关系，所以必须分类讨论．分类讨论检查学生思维的严密性．
分类讨论．
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