试题

（2009·石景山区一模）两个反比例函数y=

k1

x

和y=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在y=

k1

x

的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=

k2

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

k2

x

的图象于点B．
（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；
（2）当

PA

PC

=

2

3

时，求

DB

BP

的值；
（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S_△OAB′S_△ABP．设S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②当k₂为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC与△BOD的面积分别为S₁，S₂，矩形PCOD的面积为S₃，
由题意，得y1=

k2

x1

，y2=

k2

x2

，y3=

k1

x3

，
∴S1=

1

2

x1y1=

1

2

k2，S2=

1

2

x2y2=

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四边形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四边形PAOB的面积是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，则OD·BD=OC·AC
又∵PA=

2

3

PC
∴AC=

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD=

1

3

DP
∴

DB

BP

=

1

2

；（4分）

（3）解：①由题意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B两点坐标分别为A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP=

1

2

AP·BP=

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=S四边形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=-

1

10

k22+k2
∴当k₂=5时，s有最大值

5

2

．（7分）
（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），
△AOC与△BOD的面积分别为S₁，S₂，矩形PCOD的面积为S₃，
由题意，得y1=

k2

x1

，y2=

k2

x2

，y3=

k1

x3

，
∴S1=

1

2

x1y1=

1

2

k2，S2=

1

2

x2y2=

1

2

k2，S₃=x₃y₃=k₁，
∴S_{四边形PAOB}=S₃-（S₁+S₂）=K₁-K₂，
∴四边形PAOB的面积是定值；（2分）

（2）解：由（1）可知S₁=S₂，则OD·BD=OC·AC
又∵PA=

2

3

PC
∴AC=

1

3

PC
∵DP=OC，OD=PC
∴BD=

1

3

DP
∴

DB

BP

=

1

2

；（4分）

（3）解：①由题意知：k₁=x_Py_P=10；（5分）
②A、B两点坐标分别为A(5，

k2

5

)，B(

k2

2

，2)
∴S△ABP=

1

2

AP·BP=

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=S四边形PAOB-2S△ABP=10-k2-2×

1

2

(2-

k2

5

)(5-

k2

2

)
∴S=-

1

10

k22+k2
∴当k₂=5时，s有最大值

5

2

．（7分）