试题

如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数y=

k

x

（x＞0）图象上一点，作AB⊥x轴于B点，AC⊥y轴于C点，得正方形OBAC的面积为16．

（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；

（2）点P（m，

16

3

）是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过P点的直线l与y轴正半轴交于D点，使得BD⊥PC？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；

（3）连BC，将直线BC沿x轴平移，交y轴正半轴于D，交x轴正半轴于E点（如图所示），DQ⊥y轴交双曲线于Q点，QF⊥x轴于F点，交DE于H，M是EH的中点，连接QM、OM．下列结论：①QM+OM的值不变；②

QM

OM

的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，
∴A（4，4）；（2分）
将A点代入反比例函数y=

k

x

（x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=

16

x

；（5分）

（2）将y=

16

3

代入y=

16

x

得：P(3，

16

3

)；
设存在点D，延长PC交x轴于E点；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；
而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4），P(3，

16

3

)，
∴直线CP的解析式为y=

4

9

x+4；
当y=0时，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直线l的解析式为：y=-

11

9

x+9

（3）选②，值为1．
连FM，
∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴

QM

OM

=1．
解：（1）∵正方形OBAC的面积为16，
∴A（4，4）；（2分）
将A点代入反比例函数y=

k

x

（x＞0）中，得反比例函数的解析式：y=

16

x

；（5分）

（2）将y=

16

3

代入y=

16

x

得：P(3，

16

3

)；
设存在点D，延长PC交x轴于E点；
∵∠COE=∠DOB=90°，∠ECO=∠DCP，
∴∠CEO=∠ODB；
而OC=OB，
∴△COE≌△BOD，∴OE=OD；
而C（0，4），P(3，

16

3

)，
∴直线CP的解析式为y=

4

9

x+4；
当y=0时，x=-9，
∴E（-9，0），
故D（0，9），
∴直线l的解析式为：y=-

11

9

x+9

（3）选②，值为1．
连FM，
∵DE∥BC，
∴OE=OD=QF，而M是Rt△FHE的斜边中点，
∴EM=HM=FM；
∵∠OEH=∠QFM=45°，
∴△QMF≌△OME；
∴QM=OM；
∴

QM

OM

=1．