试题

（2012·莆田质检）如图，在矩形OABC中，OA、OC两边分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OC=2，过OA边上的D点，沿着BD翻折△ABD，点A恰好落在BC边上的点E处，反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限上的图象经过点E与BD相交于点F．
（1）求证：四边形ABED是正方形；
（2）点F是否为正方形ABED的中心？请说明理由．

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，
∵△BED是由△ABD沿着BD翻折得到的，
∴∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，
∴四边形ABED是正方形；

（2）F点是正方形ABED的中心．理由如下：
过F作FH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，
∴E（1，2），
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
∵D（1，0）、B（3，2），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（1，0）、B（3，2）代入得k+b=0，3k+b=2，
解得k=1，b=-1，
∴直线BD的解析式为y=x-1，
解方程组

y= 2 x y=x-1

得

x=-1 y=-2

或

x=2 y=1

，
∴F点的坐标为（2，1），
∵D（1，0）、B（3，2），
∴BD的中点坐标为（2，1）
∴F点是正方形ABED的中心．
解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC=OA=3、AB=OC=2，∠DAB=∠ABE=90°，
∵△BED是由△ABD沿着BD翻折得到的，
∴∠BED=∠DAB=90°，BA=BE，
∴四边形ABED是正方形；

（2）F点是正方形ABED的中心．理由如下：
过F作FH⊥x轴于H，如图，
∵四边形ABED是正方形，
∴BE=BA=2，CE=BC-BE=3-2=1，
∴E（1，2），
∴k=1×2=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
∵D（1，0）、B（3，2），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把D（1，0）、B（3，2）代入得k+b=0，3k+b=2，
解得k=1，b=-1，
∴直线BD的解析式为y=x-1，
解方程组

y= 2 x y=x-1

得

x=-1 y=-2

或

x=2 y=1

，
∴F点的坐标为（2，1），
∵D（1，0）、B（3，2），
∴BD的中点坐标为（2，1）
∴F点是正方形ABED的中心．