试题

（2012·吴中区三模）己知点P（2，3）是反比例函数y=

k

x

图象上的点．
（1）求过点P且与反比例函数y=

k

x

图象只有一个公共点的直线的解析式；
（2）Q是反比例函数y=

k

x

图象在第三象限这一分支上的动点，过点Q作直线使其与反比例函数y=

k

x

图象只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于C、D两点，设（1）中求得的一直线与x轴、y轴分别交于A、B两点．
①试判断AD、BC的位置关系；
②探索当四边形ABCD面积最小时，四边形ABCD的形状．

（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=

k

2

，即k=6，
则反比例函数解析式为y=

6

x

，
显然直线x=2与直线y=3与反比例函数图象只有一个交点，满足题意；
设第三条直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：

y=kx+3-2k y= 6 x

，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-

3

2

，
故满足题意的第三条直线为y=-

3

2

x+6；

（2）①由（1）求出的直线y=-

3

2

x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则

y=mx+n y= 6 x

只有一个解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-

n2

m

=24，
OC·OD=

n

m

·（-n）=24=OA·OB，即

OA

OC

=

OD

OB

，
AD∥BC；
②设OC=t，则OD=

24

t

，
S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=

1

2

×（6+

24

t

）×r+

1

2

×（6+

24

t

）×4
=3t+

48

t

+24
=3（

t

-

4

t

）²+48，
则当

t

-

4

t

=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形．
（1）解：将P的坐标代入反比例解析式得：3=

k

2

，即k=6，
则反比例函数解析式为y=

6

x

，
显然直线x=2与直线y=3与反比例函数图象只有一个交点，满足题意；
设第三条直线解析式为y=ax+b，
∵把P（2，3）代入得：3=2k+b，
即b=3-2k，
∴y=kx+3-2k，
联立直线与反比例解析式得：

y=kx+3-2k y= 6 x

，
消去y整理得：kx²+（3-2k）x-6=0，
由题意得到方程有两个相等的实数根，得到△=（3-2k）²+24k=（2k+3）²=0，
解得：k=-

3

2

，
故满足题意的第三条直线为y=-

3

2

x+6；

（2）①由（1）求出的直线y=-

3

2

x+6，令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=4，
则A（4，0），B（0，6），即OA=4，OB=6，
设直线CD的解析式为y=mx+n，
则

y=mx+n y= 6 x

只有一个解，
消去y整理得：mx²+nx-6=0，
△=n²+24m=0，
-

n2

m

=24，
OC·OD=

n

m

·（-n）=24=OA·OB，即

OA

OC

=

OD

OB

，
AD∥BC；
②设OC=t，则OD=

24

t

，
S_{四边形ABCD}=S_△BCD+S_△BDA=

1

2

×（6+

24

t

）×r+

1

2

×（6+

24

t

）×4
=3t+

48

t

+24
=3（

t

-

4

t

）²+48，
则当

t

-

4

t

=0，即t=4时，四边形ABCD面积最小，
此时OA=OC=4，OB=OD=6，又AC⊥BD，
故四边形ABCD为菱形．