试题

（2012·西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），点C，D在x轴上，C（t，0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E，交OA于点G，连接CE交OA于点F
（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长；
（2）若当△EFG的面积为

12

5

时，点G恰在y=

k

x

的图象上，求k的值；
（3）若存在点Q（0，2t）与点R，其中点R在（2）中的y=

k

x

的图象上，以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形，求R点的坐标．

解：（1）∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），DE⊥x轴，
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE=

32+42

=5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5-t

，
∴EF=

5-t

5-t+t

×5=5-t；

（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=

1

2

x，
∵点D（t+3，0），
∴GD=

1

2

（t+3），
EG=4-

1

2

（t+3）=

1

2

（5-t），
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED=

FH

EF

=

CD

CE

，
即

FH

5-t

=

3

5

，
解得FH=

3

5

（5-t），
S_△EFG=

1

2

EG·FH=

1

2

×

1

2

（5-t）×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²=

12

5

，
整理得，（5-t）²=16，
解得t₁=1，t₂=9（不合题意，舍去），
∴GD=

1

2

（1+3）=2，
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，

k

4

=2，
解得k=8；

（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（

8+t

2

，2），
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=

8

x

，
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t²+6t-12=0，
解得t₁=-3-

21

（舍去），t₂=-3+

21

，
∵8+t=8+（-3+

21

）=5+

21

，4-2t=4-2（-3+

21

）=10-2

21

，
∴点R的坐标为（5+

21

，10-2

21

），
②当CQ是平行四边形的对角线时，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（

t

2

，t），
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=

8

x

图象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t²-10t+12=0，
解得t₁=5+

13

（舍去），t₂=5-

13

，
∵t-8=5-

13

-8=-3-

13

，2t-4=2（5-

13

）-4=6-2

13

，
∴点R的坐标是（-3-

13

，6-2

13

）；
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=

8

x

图象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t²-6t-12=0，
解得t₁=3-

21

（舍去），t₂=3+

21

（舍去），
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+

21

，10-2

21

）或，（-3-

13

，6-2

13

），使得以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．
解：（1）∵点A，B坐标分别为（8，4），（0，4），DE⊥x轴，
∴四边形BODE是矩形，
∴BE=OD，DE=OB，
又点A（8，4），B（0，4），D（t+3，0），
∴AB=8，BE=t+3，DE=4，
∴AE=AB-BE=8-（t+3）=5-t，
又CD=（t+3）-t=3，
根据勾股定理可得CE=

32+42

=5，
∵AB∥CD，∴△OCF∽△AEF，
∴

CF

EF

=

OC

AE

=

t

5-t

，
∴EF=

5-t

5-t+t

×5=5-t；

（2）由点A（8，4）容易求出直线OA的解析式为y=

1

2

x，
∵点D（t+3，0），
∴GD=

1

2

（t+3），
EG=4-

1

2

（t+3）=

1

2

（5-t），
过F作FH⊥GD，交GD于点H，
sin∠CED=

FH

EF

=

CD

CE

，
即

FH

5-t

=

3

5

，
解得FH=

3

5

（5-t），
S_△EFG=

1

2

EG·FH=

1

2

×

1

2

（5-t）×

3

5

（5-t）=

3

20

（5-t）²=

12

5

，
整理得，（5-t）²=16，
解得t₁=1，t₂=9（不合题意，舍去），
∴GD=

1

2

（1+3）=2，
故点G（4，2），
把点G坐标代入反比例函数解析式得，

k

4

=2，
解得k=8；

（3）①当AC是平行四边形的对角线时，
∵点A（8，4），C（t，0），
∴平行四边形的中心坐标是（

8+t

2

，2），
∵点Q（0，2t），
∴点R的坐标是（8+t，4-2t），
由（2）可知，反比例函数解析式为y=

8

x

，
∵点R在反比例函数图象上，
∴（8+t）（4-2t）=8，
整理得，t²+6t-12=0，
解得t₁=-3-

21

（舍去），t₂=-3+

21

，
∵8+t=8+（-3+

21

）=5+

21

，4-2t=4-2（-3+

21

）=10-2

21

，
∴点R的坐标为（5+

21

，10-2

21

），
②当CQ是平行四边形的对角线时，
∵C（t，0），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（

t

2

，t），
∵点A（8，4），
∴点R的坐标是（t-8，2t-4），
∵点R在反比例函数y=

8

x

图象上，
∴（t-8）（2t-4）=8，
整理得，t²-10t+12=0，
解得t₁=5+

13

（舍去），t₂=5-

13

，
∵t-8=5-

13

-8=-3-

13

，2t-4=2（5-

13

）-4=6-2

13

，
∴点R的坐标是（-3-

13

，6-2

13

）；
③当AQ是平行四边形的对角线时，
∵A（8，4），Q（0，2t），
∴平行四边形的中心坐标是（4，2+t），
∵点C（t，0），
∴点R的坐标是（8-t，4+2t），
∵点R在反比例函数y=

8

x

图象上，
∴（8-t）（4+2t）=8，
整理得，t²-6t-12=0，
解得t₁=3-

21

（舍去），t₂=3+

21

（舍去），
所以，此时点R不存在，
综上所述，存在点R（5+

21

，10-2

21

）或，（-3-

13

，6-2

13

），使得以A，C，Q，R为顶点的四边形是平行四边形．