试题

（2013·十堰模拟）如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．点P（a、b）是双曲线y=

1

2x

上任意一点，过点P向x轴、y轴作垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．
（1）求点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）△AOF与△BOE是否相似？若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由．
（3）当点P在双曲线y=

1

2x

上移动时，∠EOF大小是否始终保持不变？若是，求∠EOF度数；若不是，请说明理由．

解：（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵点P是函数y=

1

2x

图象上任意一点，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF·BE=OB·OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；

（3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．
解：（1）根据题意，易知：直线AB的解析式为y=-x+1，
点E的坐标是（a，1-a），点F的坐标是（1-b，b），

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如图1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵点P是函数y=

1

2x

图象上任意一点，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF·BE=OB·OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵对图2，图3同理可证，
∴△AOF∽△BEO；

（3）当点P在曲线上移动时，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如图1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
对图2，图3同理可证，
∴∠EOF=45°．