试题

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P、Q是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的两点，过点P、Q分别作直线且与x、y轴分别交于点A、B和点M、N．已知点P为线段AB的中点．
（1）求△AOB的面积（结果用含a的代数式表示）；
（2）当点Q为线段MN的中点时，小菲同学连接AN，MB后发现此时直线AN与直线MB平行，问小菲同学发现的结论正确吗？为什么？

解：（1）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，
∵P为线段AB的中点，
∴PP₁，PP₂是△AOB的中位线，
∴OA=2PP₂，OB=2PP₁，
∵点P是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的点，
∴S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；


（2）结论正确．
理由：∵点Q为线段MN的中点，
∴同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，
∴OA·OB=OM·ON，
∴

OA

OM

=

ON

OB

，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB．
解：（1）过点P作PP₁⊥x轴，PP₂⊥y轴，
∵P为线段AB的中点，
∴PP₁，PP₂是△AOB的中位线，
∴OA=2PP₂，OB=2PP₁，
∵点P是反比例函数y=

a2+1

x

（x＞0）图象上的点，
∴S_△AOB=

1

2

OA×OB=

1

2

×2PP₂×2PP₁=2PP₂×PP₁=2a²+2；


（2）结论正确．
理由：∵点Q为线段MN的中点，
∴同（1）可得S_△MON=S_△AOB=2a²+2，
∴OA·OB=OM·ON，
∴

OA

OM

=

ON

OB

，
∵∠AON=∠MOB，
∴△AON∽△MOB，
∴∠OAN=∠OMB，
∴AN∥MB．