试题

已知一次函数y₁=ax+b的图象与反比例函数y₂=

k

x

的图象相交于A、B两点，坐标分别为（-1，2）、（m，-1）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）结合图象写出y₁≤y₂时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积；
（4）是否存在一点P，使以点A﹑B﹑O﹑P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出顶点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把点A（-1，2），代入y₂=

k

x

得：
xy=k=-1×2=-2，
∴y₂=-

2

x

，
把点B（m，-1）代入解析式y₂=-

2

x

中，得
m=2，
∴B（2，-1），进而代入y₁=ax+b得：

2a+b=-1 -a+b=2

，
解得：

a=-1 b=1

，
∴直线解析式为：y₁=-x+1；

（2）当-x+1=-

2

x

时，
整理，得
x²-x-2=0
解得x₁=-1，x₂=2，
即点A（-1，2），点B（2，-1）
当y₁≤y₂时，-1≤x＜0或x≥2．

（3）当x=0时，y=-x+1=1，即OC=1
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×1×1+

1

2

×2×1=

3

2

．

（4）存在．
若四边形OAPB是菱形，则AB，OP互相垂直平分，即点M既是AB的中点，又是OP的中点．
∵点A是（-1，2），点B是（2，-1）
∴点M的坐标是（

1

2

，

1

2

）
∴点P的坐标是（1，1）．
解：（1）把点A（-1，2），代入y₂=

k

x

得：
xy=k=-1×2=-2，
∴y₂=-

2

x

，
把点B（m，-1）代入解析式y₂=-

2

x

中，得
m=2，
∴B（2，-1），进而代入y₁=ax+b得：

2a+b=-1 -a+b=2

，
解得：

a=-1 b=1

，
∴直线解析式为：y₁=-x+1；

（2）当-x+1=-

2

x

时，
整理，得
x²-x-2=0
解得x₁=-1，x₂=2，
即点A（-1，2），点B（2，-1）
当y₁≤y₂时，-1≤x＜0或x≥2．

（3）当x=0时，y=-x+1=1，即OC=1
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×1×1+

1

2

×2×1=

3

2

．

（4）存在．
若四边形OAPB是菱形，则AB，OP互相垂直平分，即点M既是AB的中点，又是OP的中点．
∵点A是（-1，2），点B是（2，-1）
∴点M的坐标是（

1

2

，

1

2

）
∴点P的坐标是（1，1）．