试题

在平面直角坐标系中，点C为反比例函数y=

k

x

（k＞0）在第一象限内图象上一点，以点A（-2，-2）和C为顶点的矩形ABCD中，AB∥CD∥x轴，AB交y轴于点Q，CD交y轴于点M，BC∥DA∥y轴于点I，DA交x轴于点N，矩形ABCD被坐标轴分成的四个四边形的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄（如图1所示），已知S₁=3S₃，

（1）求k的值；
（2）S₂·S₄的值为；
（3）P（0，n）为y轴上一点，以AP为边作正方形APFG（A，P，F，G的位置依次为顺时针方向排列），当点F或G恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上（示意图如图2所示）时，求所有满足条件的n的值．

解：（1）设C（x_c，y_c）
∵AB∥CD∥x轴，BC∥DA∥y轴∠MOI=∠NOQ=90°
∴四边形ANOQ和四边形MOIC为矩形
∴S₃=ON×OQ=4
∴S₁=3S₃=12，∵K=x_c×y_c=OI×OC=S₁，
∴K=12

（2）∵点C在双曲线上，
∴点C的坐标为（xc，

12

xc

）
∵四边形ABCD是矩形
∴点B的坐标为（x_c，-2），
点D的坐标为（-2，

12

xc

）
∴S₂·S₄=ON·OM·OI·OQ=2×x_c×2×

12

xc

=48；

（3）（Ⅰ）当点F在双曲线上
作FK⊥y轴 与K，AJ⊥y轴于点J，
∵∠FPK+∠APJ=∠APJ+∠PAJ=90°，
∴∠FPK=∠PAG
又∵∠FKP=∠PGA FP=PA
∴△FPK≌△PAJ
∴PK=AJ=2 FK=PJ=n+2
∴F（n+2，n-2）
将F（n+2，n-2）代入y=

k

x

得：
（n+2）（n-2）=12
解得：n=±4
当n=-4时，经验证正方形的顶点也在双曲线上，
∴n=±4
（Ⅱ）点G在双曲线上
同理可得：G（n，-4）
∴-4n=12
∴n=-3
∴n=±4，-3．